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2024年1月18日 星期四

一道平面幾何的圓的問題

=題目=

如圖,已知兩平行線L1,L2與圓Γ交於A,B,C,D四點,連接¯AD,¯BC交於P點,且BPD=45。若直線L1平分圓Γ的面積,則ΔABP的面積為ΔCDP面積的幾倍?

=答案=

2倍

=詳解=

由於L1平分Γ的面積,所以¯AB為直徑。

由於ABCADC皆為圓周角,且都夾AC,所以 \angle ABC = \angle ADC 。又 \angle APB \angle CPD 為對頂角,所以 \angle APB = \angle CPD 。因此 \Delta APB \sim \Delta CPD

P 做直線 L_3 \parallel \overline{AB} ,則由平行線內錯角相等可知 45^\circ = \angle ABP + \angle CDP (= 2\angle ABP = 2\angle CDP ) ,即 \angle ABP = \frac{45^\circ}{2}


P \overline{AB} \overline{CD} 作垂線,設垂足分別為 M N 。連接 \overline{AC} ,注意 \angle BCA = 90^{\circ}


假設圓 \Gamma 半徑長1。於是便可寫出 \overline{MB} = 1, \overline{PB} = \frac{1}{\cos 22.5^\circ}

再假設 \overline{PD} \overline{PB} k 倍。於是 \overline{PN} = k, \overline{PD} = \frac{k}{\cos 22.5^\circ} 。由於 \Delta PCD 是等腰三角形,其中 \overline{PC} = \overline{PD} ,所以 \overline{PC} = \frac{k}{\cos 22.5^\circ}


\Delta ABC 中,利用銳角三角函數的定義有

\frac{\frac{1}{\cos 22.5^\circ} + \frac{k}{\cos 22.5^\circ}}{2} = \cos 22.5^\circ.

整理得

\frac{k+1}{2 \cos 22.5^\circ} = \cos 22.5^\circ.

於是再利用半角公式得

k = 2 \cos^2 22.5^\circ - 1 = 2 \times \frac{1 + \cos 2 \times 22.5^\circ}{2} - 1 = \frac{1}{\sqrt{2}}.

這表示 \Delta PBA \Delta PCD 邊長比為 1: \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}: 1 ,從而面積比為 (\sqrt{2})^2: 1^2 = 2: 1

(解答終了)

2024年1月9日 星期二

一道帶參數的有理分式不等式

=題目=

已知對於任意實數  x ,不等式 \frac{2x^2 + 2kx + k}{4x^2 + 6x + 3} < 1 恆成立,試求實數 k 的範圍。

=答案=

1 < k < 3

=詳解=

遇到分式不等式,必須移項,使一邊變為0,然後再用分子分母同號或異號去求解。所以原本的不等式先變形為

\frac{2x^2 + 2kx + k}{4x^2 + 6x + 3} - 1 < 0.

接著化簡不等式左端的式子,

\frac{2x^2 + 2kx + k}{4x^2 + 6x + 3} - 1 = \frac{2x^2 + 2kx + k}{4x^2 + 6x + 3} - \frac{4x^2 + 6x + 3}{4x^2 + 6x + 3} = \frac{-2x^2 + (2k - 6)x + (k - 3)}{4x^2 + 6x + 3}.

從而不等式變為

\frac{-2x^2 + (2k - 6)x + (k - 3)}{4x^2 + 6x + 3} < 0.

分子除以分母為負,表示分子與分母必然異號,從而相乘的結果也必定為負。另外分母不可為0,所以我們轉而考慮以下的聯立不等式

\left\{ \begin{align*} &[-2x^2 + (2k - 6)x + (k - 3)](4x^2 + 6x + 3)<0 \\ &4x^2 + 6x + 3 \ne 0 \end{align*}.  \right.

分析分母 4x^2 + 6x + 3 ,此為二次式,平方項係數為正,且判別式為 6^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 < 0 ,所以恆正。

從而不等式 [-2x^2 + (2k - 6)x + (k - 3)](4x^2 + 6x + 3)<0 可化為

-2x^2 + (2k - 6)x + (k - 3) < 0.

(我們可以直接去掉不等式中的恆正因子而不用考慮是否需要變號

為方便計算,將式子中的正負號變號,化為

2x^2 - (2k - 6)x - (k - 3) > 0.

這表示二次式 2x^2 - (2k - 6)x - (k - 3) 恆正。由於其中平方項係數為2,是正數,所以我們只需再確認判別式為負即可。

{\text{判別式}}  = [-(2k-6)]^2 - 4 \cdot 2 \cdot [-(k-3)] < 0.

展開整理得

k^2 - 4k + 3 < 0.

然後再因式分解得

(k-3)(k-1) < 0.

便解出

1 < k < 3.

(解答終了)

2024年1月8日 星期一

[111學測數A,多項式與二次函數] 不可能是 y=g(x) 圖形頂點的 y 座標

 =題目=

f(x), g(x) 皆為實係數多項式,其中 g(x) 是首項係數為正的二次式。已知 \left( g(x) \right)^2 除以 f(x) 的餘式為 g(x) ,且 y=f(x) 的圖形與 x 軸無交點。試選出不可能是 y=g(x) 圖形頂點的 y 座標之選項。

(1) \frac{\sqrt{2}}{2}

(2) 1

(3) \sqrt{2}

(4) 2

(5) \pi

=答案=

(1)

=詳解=

由於二次式 y=g(x) 的圖形為拋物線,故假設其頂點為 (h, k) ,從而可將 g(x) 的式子寫為 y=a(x-h)^2+k ,其中正數 a g(x) 的首項係數。

接著再假設 \left( g(x) \right)^2 除以 f(x) 的商式為 q(x) ,亦即有除法算式

\left( g(x) \right)^2 \div f(x) = q(x)...g(x).

將之改寫為乘法算式為

\left( g(x) \right)^2 = f(x) \cdot q(x) + g(x).

由於 g(x) 是二次式,所以 \left( g(x) \right)^2 為四次式。另外因為除法餘式的次數必小於除式的次數,從而除式 f(x) 的次數為三次或四次。

但如果 f(x) 的次數為三次,那麼其圖形 y=f(x) 必會與 x 軸有交點,和題目條件矛盾。所以 f(x) 的次數必為四次。

再看回除法算式 \left( g(x) \right)^2 = f(x) \cdot q(x) + g(x) ,既然 \left( g(x) \right)^2 為四次、 f(x) 為四次,那麼商式 q(x) 一定是(非零)常數,設為 A 。重新改寫乘法算式得

\left( g(x) \right)^2 = f(x) \cdot A + g(x).

然後移項得

\begin{align*}f(x) \cdot A &= \left( g(x) \right)^2 - g(x) \\ &= g(x)[g(x) - 1] \\ &= [a(x-h)^2 + k][a(x-h)^2 + (k-1)]. \end{align*}

因此

f(x) = \frac{1}{A}[a(x-h)^2 + k] [a(x - h)^2 + (k-1)].

由於 y=f(x) 的圖形與 x 軸無交點,因此對於任意實數 x 而言, a(x-h)^2 + k a(x - h)^2 + (k-1) 都不等於0。又已知平方項係數為正之二次函數圖形必開口向上,從而 a(x-h)^2 + k a(x - h)^2 + (k-1) 都恆正。

a(x - h)^2 + k 恆正可知 k>0

a(x - h)^2 + (k-1) 恆正可知 k-1>0 ,即 k>1

綜上所述得 k>1 。所以選(1)、(2)。

(解答終了)