=題目=
如圖,已知兩平行線L1,L2與圓Γ交於A,B,C,D四點,連接¯AD,¯BC交於P點,且∠BPD=45∘。若直線L1平分圓Γ的面積,則ΔABP的面積為ΔCDP面積的幾倍?
=答案=
2倍
=詳解=
由於L1平分Γ的面積,所以¯AB為直徑。
由於∠ABC與∠ADC皆為圓周角,且都夾AC⏜,所以 \angle ABC = \angle ADC 。又 \angle APB 與 \angle CPD 為對頂角,所以 \angle APB = \angle CPD 。因此 \Delta APB \sim \Delta CPD 。
過 P 做直線 L_3 \parallel \overline{AB} ,則由平行線內錯角相等可知 45^\circ = \angle ABP + \angle CDP (= 2\angle ABP = 2\angle CDP ) ,即 \angle ABP = \frac{45^\circ}{2} 。
自 P 向 \overline{AB} 與 \overline{CD} 作垂線,設垂足分別為 M 與 N 。連接 \overline{AC} ,注意 \angle BCA = 90^{\circ} 。
假設圓 \Gamma 半徑長1。於是便可寫出 \overline{MB} = 1, \overline{PB} = \frac{1}{\cos 22.5^\circ} 。
再假設 \overline{PD} 是 \overline{PB} 的 k 倍。於是 \overline{PN} = k, \overline{PD} = \frac{k}{\cos 22.5^\circ} 。由於 \Delta PCD 是等腰三角形,其中 \overline{PC} = \overline{PD} ,所以 \overline{PC} = \frac{k}{\cos 22.5^\circ} 。
在 \Delta ABC 中,利用銳角三角函數的定義有
\frac{\frac{1}{\cos 22.5^\circ} + \frac{k}{\cos 22.5^\circ}}{2} = \cos 22.5^\circ.
整理得
\frac{k+1}{2 \cos 22.5^\circ} = \cos 22.5^\circ.
於是再利用半角公式得
k = 2 \cos^2 22.5^\circ - 1 = 2 \times \frac{1 + \cos 2 \times 22.5^\circ}{2} - 1 = \frac{1}{\sqrt{2}}.
這表示 \Delta PBA 與 \Delta PCD 邊長比為 1: \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}: 1 ,從而面積比為 (\sqrt{2})^2: 1^2 = 2: 1 。
(解答終了)