二次方程式之根與係數關係和正切和角公式的一道題目

==問題==

設$\tan \alpha, \tan \beta$為$x^2 - 3x - 5 = 0$之二根，則$\sin^2 (\alpha + \beta) - 3 \cos (\alpha + \beta) \sin (\alpha + \beta) + 5 \cos^2 (\alpha + \beta)=$？

==解答==

由根與係數關係得

$$\tan \alpha + \tan \beta = \frac{-(-3)}{1} = 3,$$

$$\tan \alpha \cdot \tan \beta = \frac{-5}{1} = -5.$$

因此由正切和角公式得

$$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{3}{1 - (-5)} = \frac{1}{2}.$$

於是可知$\alpha + \beta$是第一或第三象限角，$\sin$與$\cos$同號！解出

$$\cos (\alpha + \beta) = \pm \frac{2}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}},$$

$$\sin (\alpha + \beta) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}.$$

從而

$$\begin{align*} &\sin^2 (\alpha + \beta) - 3 \cos (\alpha + \beta) \sin (\alpha + \beta) + 5 \cos^2 (\alpha + \beta) \\ =& \left( \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \right)^2 - 3 \cdot \left( \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \right) \left( \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \right) + 5 \cdot \left( \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \right)^2 \\ =& 3. \end{align*}$$

==註記==

本題出自於某本《徐氏數學》，圖中紅圈的部分是網友在臉書的高中數學討論區請教的部分。

我真覺得徐氏所寫的解法常常是天外飛來一筆，相當吝惜筆墨來解釋，對於學生的幫助相當有限，以致於常常有學生看不懂。我是沒有特別去細讀，但我印象中，徐氏某些解法其實在數學上是有漏洞的，因此我很少推薦學生去讀徐氏作為輔助教材。