二次方程式之根與係數關係和正切和角公式的一道題目

==問題==

設$\tan \alpha, \tan \beta$為$x^2 - 3x - 5 = 0$之二根，則$\sin^2 (\alpha + \beta) - 3 \cos (\alpha + \beta) \sin (\alpha + \beta) + 5 \cos^2 (\alpha + \beta)=$？

==解答==

由根與係數關係得

$$\tan \alpha + \tan \beta = \frac{-(-3)}{1} = 3,$$

$$\tan \alpha \cdot \tan \beta = \frac{-5}{1} = -5.$$

因此由正切和角公式得

$$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{3}{1 - (-5)} = \frac{1}{2}.$$

於是可知$\alpha + \beta$是第一或第三象限角，$\sin$與$\cos$同號！解出

$$\cos (\alpha + \beta) = \pm \frac{2}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}},$$

$$\sin (\alpha + \beta) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}.$$

從而

$$\begin{align*} &\sin^2 (\alpha + \beta) - 3 \cos (\alpha + \beta) \sin (\alpha + \beta) + 5 \cos^2 (\alpha + \beta) \\ =& \left( \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \right)^2 - 3 \cdot \left( \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \right) \left( \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \right) + 5 \cdot \left( \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \right)^2 \\ =& 3. \end{align*}$$

==註記==

本題出自於某本《徐氏數學》，圖中紅圈的部分是網友在臉書的高中數學討論區請教的部分。

我真覺得徐氏所寫的解法常常是天外飛來一筆，相當吝惜筆墨來解釋，對於學生的幫助相當有限，以致於常常有學生看不懂。我是沒有特別去細讀，但我印象中，徐氏某些解法其實在數學上是有漏洞的，因此我很少推薦學生去讀徐氏作為輔助教材。

假分式化真分式求最小值

 ==主旨==

利用假分式化為真分式的技巧，將目標函數化為易於處理的形式，再利用Cauchy不等式求出最小值。

==題目==

1. 回顧〈配方、Lagrange恆等式與Cauchy不等式〉一文的結論。
2. 設$f(x), g(x)$都是多項式，其中$g(x) \ne 0$，我們稱$\frac{f(x)}{g(x)}$為「分式」。當$\deg f(x) < \deg g(x)$時，我們稱$\frac{f(x)}{g(x)}$為真分式；當$\deg f(x) \ge \deg g(x)$時，我們稱$\frac{f(x)}{g(x)}$為假分式。我們可以利用多項式的除法，將假分式化為帶分式，也就是形如$h(x) + \frac{j(x)}{g(x)}$的式子，其中$h(x), j(x)$都是多項式，且$\deg j(x) < \deg g(x)$。試將以下各小題的假分式化為帶分式：
   (i)  $\frac{a^2 + 4}{a}$；
   (ii)  $\frac{b^2}{b+3}$。
3. 已知$a + b = 3$，證明$\frac{a^2 + 4}{a} + \frac{b^2}{b + 3} = \left( \frac{2}{\sqrt{a}} \right)^2 + \left( \frac{3}{\sqrt{b+3}} \right)^2$。
4. 若已知$a + b = 3$，試利用Cauchy不等式求出$\frac{a^2 + 4}{a} + \frac{b^2}{b + 3}$的最小值，以及相應的$a, b$取值。

一道簡單的不等式問題

==問題== 

設$a, b, c$皆為正實數，且滿足$a^2 + b^2 = c^2$，試證明$a^3 + b^3 < c^3$。

出處：大島學習塾。

==解答==

$$\begin{align*} c^3 &= c \cdot c^2 \\ &= \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \left( a^2 + b^2 \right) \\ &= \sqrt{a^2 + b^2} \cdot a^2 + \sqrt{a^2 + b^2}\cdot b^2 \\ &> \sqrt{a^2} \cdot a^2 + \sqrt{b^2} \cdot b^2 \\ &= |a| \cdot a^2 + |b| \cdot b^2 \\ &= a \cdot a^2 + b \cdot b^2 \\ &= a^3 + b^3 \end{align*}$$

（證明終了）

==註記==

本來一看到$a^2 + b^2 = c^2$與$a, b, c$皆為正數，就滿腦子朝三角函數的方向走，假設了$a = c \cdot \cos \theta, b = c \cdot \sin \theta, \theta \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$，結果化簡後發現沒有簡單到哪去。後來重新整理思緒，發現其實單純的比較根號大小就好，並不需要耍什麼花招。

2022 暑假國中AI科技營

多年來我任職於台北的@鵬展文理補習班 ，承蒙@李家源 主任照顧與提攜，讓我得以在教學上自由發揮，研發各種教材與教法，兢兢業業的為教育貢獻心力，即便我現在到竹南頭份開業，我們依然保持緊密合作，一起共用教材，彼此支援課程。

今年暑假，鵬展與@汯鉅科技、以及@師大科技系合作，在暑期為孩子開設了當今最熱門的ＡＩ人工智慧營隊！與我們一路辦學精神相同，最優秀的師資、最用心的教學，希望能夠引領孩子登堂入室，一窺最新科技的面貌！

歡迎有興趣的家長學生報名！

報名表單連結如下

https://reurl.cc/YvAY00