一道三次方根的問題（2004印度理工學院入學考）

==問題== 

設$\omega (\ne 1)$是1的三次方根，則使等式$(1 + \omega^2)^n = (1 + \omega^4)^n$成立的最小正整數$n$值為何？

(a) 2        (b) 3        (c) 5        (d) 6

(題目原文)

If $\omega (\ne 1)$ be a cube root of unity and $(1 + \omega^2)^n = (1 + \omega^4)^n$, then the least positive value of $n$ is

(a) 2        (b) 3        (c) 5        (d) 6

==解答==

本題如果要直接使用二項式定理展開求解恐怕不甚容易，最好要活用三次方根的性質。

由於$\omega$為1的三次方根，所以必有$\omega^3 = 1$且$1 + \omega + \omega^2 = 0$。因此等式$(1 + \omega^2)^n = (1 + \omega^4)^n$可如下進行改寫：

$$(1 + \omega^2)^n = (1 + \omega^4)^n,$$

$$(1 + \omega^2)^n = (1 + \omega^1 \cdot \omega^3)^n,$$

$$(1 + \omega^2)^n = (1 + \omega \cdot 1)^n,$$

由$1 + \omega + \omega^2 = 0$有$1 + \omega^2 = -\omega$與$1 + \omega = -\omega^2$，於是得

$$(-\omega)^n = (-\omega^2)^n,$$

$$(-1)^n \omega^n = (-1)^n \omega^{2n},$$

$$\omega^n = \omega^{2n}.$$

注意$\omega \ne 0$，左右兩端同時除以$\omega^n$得

$$1 = \omega^n.$$

顯然$n$的最小值為3。

（解答終了）