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2022年3月1日 星期二

1575與相關角度的三角函數值

經典推導法 

首先是我們的老朋友,306090三角形,姑且就直接設定邊長是1,32,如下圖所示:


接著我們延伸底邊3,向右伸長2,然後再與原來三角形的頂點連接,如下圖所示:

注意這樣做的結果就是在本來的三角形的右側生出一個等腰三角形,而且兩底角都是15


我們就獲得一個157590的直角三角形。


接著開始來計算斜邊:

12+(2+3)2=1+4+43+3=8+212=(6+2)2=6+2.


於是就可以求出

sin15=16+2=1(62)(6+2)(62)=624,

cos15=2+36+2=(2+3)(62)(6+2)(62)=6+24.

然後利用sin(90θ)=cosθ可以再求出

sin75=sin(9015)=cos15=6+24,

cos75=cos(9015)=sin15=624.

然後我們可以開始計算tan,利用tanθ=sinθcosθ,得

tan15=sin15cos15=6246+24=626+2=(62)2(6+2)(62)=8434=23,

tan75=sin75cos75=cos15sin15=1sin15cos15=1tan15=123=1(2+3)(23)(2+3)=2+3.

整理

1575sin6246+24cos6+24624tan232+3


正方形內嵌正三角形推導法


考慮正方形ABCD,在其中以A為一頂點,做一內嵌正三角形AEF


由於¯AB=¯AD,¯AE=¯AF,ABE=ADF=90,所以ABEADF(SAS)。從而BAE=FAD=15


為方便起見,我們取¯AE=1,於是¯AB=cos15,¯BE=sin15,¯EC=22,¯FC=22,¯FD=sin15,¯AD=cos15.

比較¯AB¯DC,得等式

cos15=sin15+22.

左右兩邊同時平方,化簡得

sin15cos15=14.

從而有

cos15+sin15=(cos15+sin15)2=1+214=62.

因此由{cos15sin15=22cos15+sin15=62解得

sin15=624,cos15=6+24.


其他相關角度的三角函數值


處理的技巧很簡單,就是善用對稱性

  • (x,y)x軸對稱的結果為(x,y),對y軸對稱的結果為(x,y)

  • 比較少用的是,過原點而斜率為m的直線,無論是對x軸對稱還是對y軸對稱,結果都是過原點而斜率為m的直線。

  • 最為少用的是,過原點而斜率為m的直線,若對直線y=x對稱,則結果是過原點而斜率為1m的直線。(事實上,這結果就是反函數微商公式dydx=1dxdy!)

我們的出發點就是下面這個三角形:

以及兩條直線的斜率:


105的三角函數值



下面其他角度列出計算過程,請讀者自己想出我是怎樣進行對稱。

165的三角函數值

sin165=sin15=624,

cos165=cos15=6+24,

tan165=tan15=(23).


195的三角函數值

sin195=sin165=624,

cos195=cos165=6+24,

tan195=tan165=[(23)]=23.


255的三角函數值

sin255=sin105=6+24,

cos255=cos105=624,

tan255=tan105=[(2+3)]=2+3.


285的三角函數值

sin285=sin255=6+24,

cos285=cos75=624,

tan285=tan255=tan75=(2+3).


345的三角函數值

sin345=sin(15)=sin15=624,

cos345=cos(15)=cos15=6+24,

tan345=tan15=(23).

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