經典推導法
首先是我們的老朋友,30∘−60∘−90∘三角形,姑且就直接設定邊長是1,√3與2,如下圖所示:
接著我們延伸底邊√3,向右伸長2,然後再與原來三角形的頂點連接,如下圖所示:注意這樣做的結果就是在本來的三角形的右側生出一個等腰三角形,而且兩底角都是15∘!
我們就獲得一個15∘−75∘−90∘的直角三角形。
接著開始來計算斜邊:
√12+(2+√3)2=√1+4+4√3+3=√8+2√12=√(√6+√2)2=√6+√2.
於是就可以求出
sin15∘=1√6+√2=1⋅(√6−√2)(√6+√2)(√6−√2)=√6−√24,
cos15∘=2+√3√6+√2=(2+√3)⋅(√6−√2)(√6+√2)(√6−√2)=√6+√24.
然後利用sin(90∘−θ)=cosθ可以再求出
sin75∘=sin(90∘−15∘)=cos15∘=√6+√24,
cos75∘=cos(90∘−15∘)=sin15∘=√6−√24.
然後我們可以開始計算tan,利用tanθ=sinθcosθ,得
tan15∘=sin15∘cos15∘=√6−√24√6+√24=√6−√2√6+√2=(√6−√2)2(√6+√2)(√6−√2)=8−4√34=2−√3,
tan75∘=sin75∘cos75∘=cos15∘sin15∘=1sin15∘cos15∘=1tan15∘=12−√3=1⋅(2+√3)(2−√3)(2+√3)=2+√3.
整理
15∘75∘sin√6−√24√6+√24cos√6+√24√6−√24tan2−√32+√3
正方形內嵌正三角形推導法
由於¯AB=¯AD,¯AE=¯AF,∠ABE=∠ADF=90∘,所以△ABE≅△ADF(SAS)。從而∠BAE=∠FAD=15∘。
為方便起見,我們取¯AE=1,於是¯AB=cos15∘,¯BE=sin15∘,¯EC=√22,¯FC=√22,¯FD=sin15∘,¯AD=cos15∘.
比較¯AB與¯DC,得等式
cos15∘=sin15∘+√22.
左右兩邊同時平方,化簡得
sin15∘cos15∘=14.
從而有
cos15∘+sin15∘=√(cos15∘+sin15∘)2=√1+2⋅14=√62.
因此由{cos15∘−sin15∘=√22cos15∘+sin15∘=√62解得
sin15∘=√6−√24,cos15∘=√6+√24.
其他相關角度的三角函數值
- 點(x,y)對x軸對稱的結果為(x,−y),對y軸對稱的結果為(−x,y)。
- 比較少用的是,過原點而斜率為m的直線,無論是對x軸對稱還是對y軸對稱,結果都是過原點而斜率為−m的直線。
- 最為少用的是,過原點而斜率為m的直線,若對直線y=x對稱,則結果是過原點而斜率為1m的直線。(事實上,這結果就是反函數微商公式dydx=1dxdy!)
我們的出發點就是下面這個三角形:
以及兩條直線的斜率:105∘的三角函數值
下面其他角度列出計算過程,請讀者自己想出我是怎樣進行對稱。
165∘的三角函數值
sin165∘=sin15∘=√6−√24,
cos165∘=−cos15∘=−√6+√24,
tan165∘=−tan15∘=−(2−√3).
195∘的三角函數值
sin195∘=−sin165∘=−√6−√24,
cos195∘=cos165∘=−√6+√24,
tan195∘=−tan165∘=−[−(2−√3)]=2−√3.
255∘的三角函數值
sin255∘=−sin105∘=−√6+√24,
cos255∘=cos105∘=−√6−√24,
tan255∘=−tan105∘=−[−(2+√3)]=2+√3.
285∘的三角函數值
sin285∘=sin255∘=−√6+√24,
cos285∘=cos75∘=√6−√24,
tan285∘=−tan255∘=−tan75∘=−(2+√3).
345∘的三角函數值
sin345∘=sin(−15∘)=−sin15∘=−√6−√24,
cos345∘=cos(−15∘)=cos15∘=√6+√24,
tan345∘=−tan15∘=−(2−√3).
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