一道複數不等式解集合圖形的問題（2019，印度理工學院進階試（JEE Advanced））

==問題== 

設集合$S$是不等式$|z - 2 + i| \ge \sqrt{5}$的解構成的集合，若複數$z_0$滿足$\frac{1}{|z_0 - 1|}$恰為集合$\left\{\frac{1}{|z-1|} : z \in S  \right\}$的最大值，則$\frac{4 - z_0 - \bar{z_0}}{z_0 - \bar{z_0} + 2i}$的主幅角為

(a) $\frac{\pi}{4}$        (b) $\frac{3\pi}{4}$        (c) $-\frac{\pi}{2}$        (d) $\frac{\pi}{2}$

（原文）

Let $S$ be the set of all complex numbers $z$ satisfying $|z - 2 + i| \ge \sqrt{5}$. If the complex number $z_0$ is such that $\frac{1}{|z_0 - 1|}$ is the maximum of set $\left\{\frac{1}{|z-1|} : z \in S  \right\}$, then the principal argument of $\frac{4 - z_0 - \bar{z_0}}{z_0 - \bar{z_0} + 2i}$ is

(a) $\frac{\pi}{4}$        (b) $\frac{3\pi}{4}$        (c) $-\frac{\pi}{2}$        (d) $\frac{\pi}{2}$

==解答==

設複平面上以$z_1 = 2 - i$為圓心、半徑為$\sqrt{5}$的圓為$C$，則集合$S$在複平面上的圖形為$C$的外部（包含邊界），如下圖所示。

取$z_2 = 1$。

由於$z_0$滿足$\frac{1}{|z_0 - 1|}$會是$\frac{1}{|z - 1|}$的最大值，這意味著$|z_0 - 1|$必須是$|z - 1|$中的最小值。由於$|z - 1|$表示複數$z$與$z_2 = 1$的距離，所以可知$z_0$就是直線$\overleftrightarrow{z_1 z_2}$與圓$C$的交點之一，由圖形可知$z_0$位於第一象限，且$\Re(z_0) \in (0, 1)$且$\Im(z_0) \in (0, 1)$。

現在假設$z_0 = x_0 + iy_0$，接著代入所求的式子進行化簡，得

$$\begin{align*}  \frac{4 - z_0 - \bar{z_0}}{z_0 - \bar{z_0} + 2i} &= \frac{4 - (x_0 + iy_0) - \overline{(x_0 + iy_0)}}{(x_0 + iy_0) - \overline{(x_0 + iy_0)} + 2i} \\ &= \frac{4 - x_0 - iy_0 - x_0 + iy_0}{x_0 + iy_0 - x_0 + iy_0 + 2i} \\ &= \frac{4 - 2x_0}{(2y_0 + 2)i} \\ &= \frac{2 - x_0}{(y_0 + 1)i} \\ &= \frac{x_0 - 2}{y_0 + 1}i.  \end{align*}$$

計算結果是純虛數，主幅角僅有可能為$\pm \frac{\pi}{2}$。注意到$x_0 = \Re(z_0) \in (0, 1)$且$y_0 = \Im(z_0) \in (0, 1)$，因此$\frac{x_0 - 2}{y_0 + 1} < 0$，從而主幅角為$- \frac{\pi}{2}$，故選(c)。

（解答終了）