106學測的多項式函數曲線交點的問題

==問題==

設$m, n$為小於或等於4的相異正整數且$a, b$為非零實數。已知函數$f(x)=ax^m$與函數$g(x)=bx^n$的圖形恰有3個相異交點，請選出可能的選項。

(1) $m, n$皆為偶數且$a, b$同號

(2) $m, n$皆為偶數且$a, b$異號

(3) $m, n$皆為奇數且$a ,b$同號

(4) $m, n$皆為奇數且$a, b$異號

(5) $m, n$為一奇一偶

==解答==

$(1^{\circ})$

首先假定交點為$P_1 = (\alpha_1, \beta_1), P_2 = (\alpha_2, \beta_2), P_3 = (\alpha_3, \beta_3)$，然後取函數$h(x) = f(x) - g(x) = ax^m - bx^n$，於是方程式$h(x) = 0$有3種相異實根，由因式定理可將$h(x)$分解為

$$h(x) = (x-\alpha_1)^{s_1} (x-\alpha_2)^{s_2} (x-\alpha_3)^{s_3} \cdot j(x),$$

其中各項因子的次數滿足$s_1 \ge 1, s_2 \ge 1, s_3 \ge 1$（注意「3種實根」$\ne$「3個實根」！）並且$j(x)$是一個非零多項式。於是有$s_1 + s_2 + s_3 \ge 3$，亦即$h(x)$的次數至少為3次。另外因為$1 \le m, n \le 4$，所以$h(x)$的次數最多4次，從而$h(x)$的次數為3次或4次。（相應地，$j(x)$的次數為1次或0次。）

$(2^{\circ})$

在$h(x)$的次數為3次的情形下，正整數$m, n$兩者之中必至少有一數為3，因此$(m, n)$的搭配可能為$(3, 3), (3, 2), (3, 1), (1, 3), (2, 3)$。以下針對不同搭配進行討論：

• $(m, n) = (3, 3)$時，$h(x) = ax^3 - bx^3 = (a - b)x^3$，此時$h(x)$的根僅1種：$x = 0$，與題意不合。
• $(m, n) = (3, 2)$時，$h(x) = ax^3 - bx^2 = x^2 (ax - b)$，此時$h(x)$的根僅2種：$x = 0 \,\, (2{\text 重}), \frac{b}{a}$，與題意不合。
  （例如$h(x) = 4x^3-5x^2 = x^2 (4x - 5)$，根有$x = 0 \,\, (2{\text 重}), \frac{5}{4}$共2種。）

• $(m, n) = (3, 1)$時，$h(x) = ax^3 - bx = x(ax^2 - b)$，
• 此時僅在$a, b$同號的假設下，$h(x)$才會有3種根：$x = 0, \pm \sqrt{\frac{b}{a}}$；
• 若$a, b$異號，那麼$h(x)$僅有1種根：$x = 0$，與題意不合。
• 例如，取$(a, b) = (4, 5)$，此時$h(x) = 4x^3 - 5x = x(4x^2 - 5)$，根有$x = 0, \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$共3種。而取$(a, b) = (4, -5)$，此時$h(x) = 4x^3 - (-5)x = 4x^3 + 5x = x(4x^2 + 5)$，根有$x = 0$僅1種。
• 而$(m, n) = (1, 3)$或$(2, 3)$的討論同前文所述，僅有$(m, n) = (1, 3)$且$a, b$同號的情形滿足題目條件。

$(3^{\circ})$

接著處理$h(x)$的次數為4次的情形。同前文關於3次的討論，此時$m, n$必至少其一為4，因此$(m, n)$的搭配可能為$(4, 4), (4, 3), (4, 2), (4, 1), (1, 4), (2, 4), (3, 4)$。以下針對不同搭配進行討論：

• $(m, n) = (4, 4)$時，$h(x) = ax^4 - bx^4 = (a - b)x^4$，此時$h(x)$的根僅1種：$x = 0 \,\, (4{\text 重})$，與題意不合。
• $(m, n) = (4, 3)$時，$h(x) = ax^4 - bx^3 = x^3 (ax - b)$，此時$h(x)$的根共2種：$x = 0  \,\, (3{\text 重}), \frac{b}{a}$，與題意不合。
• $(m, n) = (4, 2)$時，$h(x) = ax^4 - bx^2 = x^2 (ax^2 - b)$，
• 此時僅在$a, b$同號的假設下，$h(x)$才會有3種根：$x = 0 \,\, (2{\text 重}), \pm \sqrt{\frac{b}{a}}$；
• 若$a, b$異號，那麼$h(x)$僅有1種根：$x = 0$，與題意不合。
• 例如，取$(a, b) = (4, 5)$，此時$h(x) = 4x^4 - 5x^2 = x^2 (4x^2 - 5)$，根有$x = 0, \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$共3種。而取$(a, b) = (4, -5)$，此時$h(x) = 4x^4 - (-5)x^2 = 4x^4 + 5x^2 = x^2 (4x^2 + 5)$，根有$x = 0  \,\, (2{\text 重})$僅1種。
• $(m, n) = (4, 1)$時，$h(x) = ax^4 - bx = x (ax^3 - b)$，此時$h(x)$的根共2種：$x = 0, \sqrt[3]{\frac{b}{a}}$，與題意不合。
• 而$(m, n) = (1, 4), (2, 4)$或$(3, 4)$的討論同前文所述，僅有$(m, n) = (2, 4)$且$a, b$同號的情形滿足題目條件。

$(4^{\circ})$

綜合以上討論，答案應選(1)、(3)。

==福利==

大森莉緒（@Rio_Ohmori）