一題迴歸直線的計算

 這篇只是教學材料。

==問題==

甲、乙、丙、丁、戊五位同學每週上課時數（x）與第一次段考英文成績（y）的統計如下表。將原始資料分別標準化，即令$X = \frac{x - \mu_x}{\sigma_x}, Y = \frac{y - \mu_y}{\sigma_y}$，而Y對X的回歸直線為$Y = aX+b$，試求數對$(a, b)$。

	甲	乙	丙	丁	戊
每週上網時數$x$（小時）	1	4	7	10	13
段考英文成績$y$（分）	78	60	69	51	42

==解答==

首先計算兩個統計變量$x, y$個別的平均數與標準差。

$$\mu_x = \frac{1}{5}\left( 1+4+7+10+13 \right) = 7.$$

（請注意x的值呈現等差數列的形式）

$$\mu_y = \frac{1}{5} \left( 78+60+69+51+42 \right) = 60.$$

於是

$$x - \mu_x : -6, -3, 0, 3, 6,$$

$$y - \mu_y : 18, 0, 9, -9, -18.$$

那麼

$$\sigma_x = \sqrt{\frac{1}{5}\left[ (-6)^2 + (-3)^2 + 0^2 + 3^2 + 6^2 \right]} = 3\sqrt{2},$$

$$\sigma_y = \sqrt{\frac{1}{5} \left[ 18^2 + 0^2 + 9^2 + (-9)^2 + (-18)^2 \right]} = 9\sqrt{2}.$$

然後計算共變異數與相關係數：

$$Cov_{xy} = \frac{1}{5}\left[ (-6) \cdot 18 + (-3) \cdot 0 + 0 \cdot 9 + 3 \cdot (-9) + 6 \cdot (-8) \right] =-\frac{243}{5}.$$

$$r_{xy} = \frac{Cov_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y} = -\frac{9}{10}.$$

最後就可求出y對x的迴歸直線，公式為$\frac{y - \mu_y}{\sigma_y} = r \cdot \frac{x - \mu_x}{\sigma_x}$，代入以上計算的數值，得

$$\frac{y - 60}{9 \sqrt{2}} = -\frac{9}{10} \cdot \frac{x - 7}{3\sqrt{2}}.$$

而標準化為$X = \frac{x - \mu_x}{\sigma_x} = \frac{x - 7}{3\sqrt{2}}, Y = \frac{y - \mu_y}{\sigma_y} = \frac{y - 60}{9 \sqrt{2}}$，於是就有

$$Y = -\frac{9}{10} \cdot X,$$

因此$a = -\frac{9}{10}, b = 0$。

連續奇數和為完全平方數的數學歸納法證明

 這篇只是教學材料，沒啥新內容。

==問題==

對於任意正整數n，利用數學歸納法證明

$$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2.$$

==講解==

首先，要證明的等式分為左式與右式。其中左式為$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1)$，而右式為$n^2$。我們要證明的是，無論n代入哪一個正整數，左式的值永遠都要等於右式的值。

數學歸納法的第一步，就是「代入起始值」。以現在這題來說，由於我們要證明的是「對任意正整數n」，也就是所有正整數$1, 2, 3, \cdots$，那麼n就必須從1開始代入。

$n = 1$時，左式為$1$，而右式為$1^2 = 1$，顯然左式等於右式，所以我們會說「$n = 1$時，所要證明的敘述成立」。

接下來是數學歸納法的第二步，稱為「建立歸納假設 (Inductive Hypothesis)」。簡單來說，在高中的一般題目的範疇，就是假設「$n = k$時，要證明的敘述成立」。所以說，我們現在假定了$1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1)$確實會與$k^2$相等！

$$1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1) = k^2.$$

然後是數學歸納法的第三步，「從歸納假設導出下一階段也正確」。剛才是在$n = k$時建立了歸納假設「$1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1) = k^2$」，現在要從這條等式出發，去推導出下一階段$n = k+1$的情形也會正確。具體步驟如下：

$$\begin{eqnarray*}  左式 &=& 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1) + [2(k+1) - 1] \quad [左式的定義] \\ &=& k^2 +  [2(k+1) - 1] \quad [歸納假設] \\ &=& k^2 + 2k + 1 \quad [展開] \\ &=& (k + 1)^2 \quad [乘法公式] \\ &=& 右式. \end{eqnarray*}$$

這意味著「$n = k + 1$時，所要證明的敘述成立」。

最後我們要再寫上「由數學歸納法得證」，這樣就完成了本題的數學歸納法的證明。

==解答==

$n = 1$時，左式為$1$，而右式為$1^2 = 1$，左式等於右式，所要證明的敘述成立。

設$n = k$時，要證明的敘述成立，即$1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1) = k^2$。

$n = k+1$時，

$$\begin{eqnarray*}  左式 &=& 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1) + [2(k+1) - 1] \quad [左式的定義] \\ &=& k^2 +  [2(k+1) - 1] \quad [歸納假設] \\ &=& k^2 + 2k + 1 \quad [展開] \\ &=& (k + 1)^2 \quad [乘法公式] \\ &=& 右式. \end{eqnarray*}$$

$n = k + 1$時，敘述成立。故由數學歸納法得證。

==數學歸納法的結構==

數學歸納法證明，基本上可以分為三個部分：代入起始值、建立歸納假設、從歸納假設導出下一階段也正確。現在讓我們思考一個問題：

你現在走出門，遇到第1個紅綠燈是亮綠燈。然後，上帝降臨你一個神力，一旦你遇到綠燈後，那麼下一個紅綠燈也會亮綠燈。請問你一路上會不會遇到紅燈？

這問題太簡單了，當然是一路綠燈，不可能遇到紅燈！為什麼呢？因為「遇到第1個紅綠燈是亮綠燈」，保證了你的旅程從綠燈開始。接著「一旦你遇到綠燈後，那麼下一個紅綠燈也會亮綠燈」表示，

有第1個綠燈就會有第2個綠燈，

有第2個綠燈就會有第3個綠燈，

...

有第k個綠燈就會有第$k + 1$個綠燈，

...

那當然一路都是綠燈！

但是這與數學歸納法有什麼關係？

謎底揭曉：

代入起始值＝遇到第1個紅綠燈是亮綠燈

建立歸納假設＝一旦你遇到綠燈

從歸納假設導出下一階段也正確＝下一個紅綠燈也會亮綠燈

這樣是不是更能理解數學歸納法的證明步驟呢？希望這樣的比喻能幫助大家更瞭解。

三角函數積化和差的一個推導方式

        在證明三元算幾不等式$\frac{p + q + r}{3} \ge \sqrt[3]{pqr}$時，我們會用到以下的因式分解

$$a^3 + b^3 +c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab - bc - ca).$$  

其中

$$\begin{eqnarray*}  a^2 +b^2 +c^2 -ab - bc - ca &=& \frac{1}{2}\left( 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 -2ab - 2bc - 2ca \right) \\ &=& \frac{1}{2} \left[ (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 -2ca +a^2) \right] \\ &=& \frac{1}{2} \left[ (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right]. \end{eqnarray*}$$

這裡用到一個特殊的技巧是$a^2 +b^2 +c^2 -ab - bc - ca = \frac{1}{2}\left( 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 -2ab - 2bc - 2ca \right)$，才可在後續進行配方。我將這個技巧稱為「內乘2、外除2」。

        現在，我們使用這個技巧來推導三角函數的積化和差。以$\sin x \cdot \sin y$為例：

$$\begin{eqnarray*}  \sin x \cdot \sin y &=& \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sin x \cdot \sin y \\ &=& \frac{1}{2} \cdot \left( 2 \sin x \sin y + \cos x \cos y - \cos x \cos y \right) \\ &=& \frac{1}{2} \left[ (\cos x \cos y + \sin x \cdot \sin y) - (\cos x \cos y - \sin x \sin y) \right] \\ &=& \frac{1}{2} \left[ \cos (x-y) - \cos (x+y) \right] \end{eqnarray*}$$

同樣的技巧，也可以推導出

$$\begin{eqnarray*}  \sin x \cdot \cos y &=& \frac{1}{2} \left[ \sin (x + y) + \sin (x - y) \right],  \\  \cos x \cdot \cos y &=& \frac{1}{2} \left[ \cos (x+y) + \cos (x - y) \right]. \end{eqnarray*}$$

我個人認為，這樣的作法，大概比傳統從和、差角公式出發來的簡潔。