朋友Dora Wang傳來一道題目:
若12logn144為正整數,則符合條件的正整數n的個數有幾個?
抱怨她學校老師的解法根本不是人想得到的,很機掰。
下面我嘗試給出一個比較「正常人可以想到」、「不機掰」的做法。
首先,根據題目條件,我們可以假定12logn144=正整數m。然後根據換底公式有
12⋅log144logn=m.
接著得到
12⋅log144=m⋅logn
然後由對數律中的「次方律」,得
log14412=lognm,
比較真數(左右消去log)可得
14412=nm.
將144進行質因數分解,上式可改為
nm=(24×32)12=248×324.
接著我們就是要想辦法將248×324改寫成nm的形式。所以
248×324=(248×324)1=(224×312)2=(216×38)3=⋯=(22×31)24.
於是我們可以發現:m必為48與24的公因數,而m有多少個,n就跟著有多少個。因為48與24的最大公因數為24,而24=23×3,所以24一共有(3+1)×(1+1)=8個因數,所以m有8個,n也就有8個。
附:學校老師給的解法
紅筆部分第二行、第二個等號的分母,想法確實有點跳。我很不欣賞!就是這樣的老師與解法,才讓學生們感到「數學很困難」、「數學不是人想的」。
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