披著對數律運算的一道因倍數問題

        朋友Dora Wang傳來一道題目： 

若$12\log_{n} 144$為正整數，則符合條件的正整數n的個數有幾個？

抱怨她學校老師的解法根本不是人想得到的，很機掰。

        下面我嘗試給出一個比較「正常人可以想到」、「不機掰」的做法。

        首先，根據題目條件，我們可以假定$12\log_{n} 144 =$正整數m。然後根據換底公式有

$$12 \cdot \frac{\log 144}{\log n} = m.$$

接著得到

$$12 \cdot \log 144 = m \cdot \log n$$

然後由對數律中的「次方律」，得

$$\log 144^{12} = \log n^m,$$

比較真數（左右消去log）可得

$$144^{12} = n^m.$$

將144進行質因數分解，上式可改為

$$\begin{eqnarray*} n^m &=& \left( 2^4 \times 3^2 \right)^{12} \\ &=& 2^{48} \times 3^{24}. \end{eqnarray*}$$

接著我們就是要想辦法將$2^{48} \times 3^{24}$改寫成$n^m$的形式。所以

$$\begin{eqnarray*}2^{48} \times 3^{24} &=& \left( 2^{48} \times 3^{24} \right)^1 \\ &=& \left( 2^{24} \times 3^{12} \right)^2 \\ &=& \left( 2^{16} \times 3^{8} \right)^3 \\ &=& \cdots \\ &=& \left( 2^{2} \times 3^{1} \right)^{24}. \end{eqnarray*}$$

於是我們可以發現：m必為48與24的公因數，而m有多少個，n就跟著有多少個。因為48與24的最大公因數為24，而$24 = 2^3 \times 3$，所以24一共有$(3 + 1) \times (1 + 1) = 8$個因數，所以m有8個，n也就有8個。

附：學校老師給的解法

紅筆部分第二行、第二個等號的分母，想法確實有點跳。我很不欣賞！就是這樣的老師與解法，才讓學生們感到「數學很困難」、「數學不是人想的」。