Shankar，基礎物理，PHYS 200，Problem Set I, #4

題目原文 

[Difficult] Ball A is dropped from rest from a building of height H exactly when ball B is thrown up vertically. When they collide A has double the speed of B. If the collision occurs at height h what is h/H? 

Hint: Write equations for heights $y_A, y_B$ and velocities $v_A$ and $v_B$. What can you say about these at the time of the collision?

題目翻譯

[難題] 球A從高度為H的建築物自由落下之際，地面上的球B正好同時垂直上拋。 兩球在高度h的位置相撞，撞擊時A的速率是B的兩倍，則h/H是多少？

提示：分別對高度$y_A, y_B$以及速度$v_A$和$v_B$寫出方程式。在發生碰撞時，你有什麼結論？

我的解答

首先寫出$y_A$與$y_B$：

$$y_A(t) = H + 0t - \frac{1}{2}gt^2,$$

$$y_B(t) = 0 + v_B(0)t - \frac{1}{2}gt^2.$$

假定在時刻$t^*$時發生碰撞，利用A球的位置函數，得

$$h = H - \frac{1}{2}g{t^*}^2.$$

解出$t^* = \sqrt{\frac{2(H - h)}{g}}$。代入B球的位置函數，可以解出B球上拋的初始速度：

$$h = v_B(0) \cdot \sqrt{\frac{2(H - h)}{g}} - \frac{1}{2}g\cdot \left( \sqrt{\frac{2(H - h)}{g}} \right)^2,$$

$$v_B(0) = \sqrt{\frac{g}{2(H - h)}}H.$$

到目前為止都還沒用到題目的另個條件「撞擊時A的速率是B的兩倍」，現在來使用它。寫出$v_A$與$v_B$：

$$v_A(t) = 0 - gt,$$

$$v_B(t) = \sqrt{\frac{g}{2(H - h)}}H - gt.$$

代入撞擊時刻$t^* = \sqrt{\frac{2(H - h)}{g}}$，得

$$\left| 0 - g \cdot \sqrt{\frac{2(H - h)}{g}} \right| = 2 \times \left| \sqrt{\frac{g}{2(H - h)}}H - g \cdot \sqrt{\frac{2(H - h)}{g}} \right|.$$

（注意左式絕對值內的式子必為負，右式絕對值內的式子必為正）化簡可得

$$\frac{h}{H} = \frac{2}{3}.$$

Shankar的解答