91年，基測，第一次，數學科，詳解

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90年，基測，第二次，數學科，詳解

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勘誤：第19題計算有誤，答案應更正為(D)，感謝莊婧言同學指正。

90年，基測，第一次，數學科，詳解

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90年，基測練習題本，數學科(2)，詳解

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90年，基測練習題本，數學科(1)，詳解

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東京大學，1961，文科/理科，前期，第4題：線段分割二比一，求中心小三角形面積

問題

設$\triangle ABC$的三邊$\overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB}$上頭分別有點$L, M, N$使得$\displaystyle \frac{BL}{LC}=\frac{CM}{MA}=\frac{AN}{NM}=\frac{1}{2}$，其中$\overline{AL}$與$\overline{CN}$交點為$P$，$\overline{AL}$與$\overline{BM}$交點為$Q$，$\overline{BM}$與$\overline{CN}$交點為$R$。試求出$\triangle PQR$與$\triangle ABC$的面積比。

解答1 (國中) 綜合幾何法

1. 證明三角形共邊關係：$\triangle ANC : \triangle LNC = \overline{AP} : \overline{LP}$。
2. 證明：$\overline{AP} : \overline{LP} = 3 : 4$。
3. 證明：$\triangle LBM : \triangle ABM = \overline{LQ} : \overline{AQ}$。
4. 證明：$\overline{LQ} : \overline{AQ} = 1 : 6$。
5. 證明：$\overline{AP} : \overline{PQ} : \overline{QL} = 3 : 3 : 1$。
6. 證明：$\triangle ABQ = \frac{2}{7} \triangle ABC$。
7. 討論$\triangle BCR$與$\triangle ABC$的關係。
8. 討論$\triangle CAP$與$\triangle ABC$的關係。
9. 求出$\triangle PQR$與$\triangle ABC$的面積比。

解答2 (高中) 向量法

1. 設$\overrightarrow{AL} = s_1 \overrightarrow{AB} + t_1  \overrightarrow{AC}$，試利用分點公式求出$s_1 ,t_1$之值。
2. 設$\overrightarrow{AP} = s_2 \overrightarrow{AN} + t_2 \overrightarrow{AC}$，試利用平行關係及分點公式求出$s_2 ,t_2$之值。
3. 將$\overrightarrow{BQ}$表示為$\overrightarrow{BC}$與$\overrightarrow{BA}$的線性組合。
4. 將$\overrightarrow{CR}$表示為$\overrightarrow{CA}$與$\overrightarrow{CB}$的線性組合。
5. 將$\overrightarrow{PQ}$表示為$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的線性組合。
6. 將$\overrightarrow{PR}$表示為$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的線性組合。
7. 根據三角形的行列式面積公式有$\triangle ABC = \frac{1}{2} \left| \det \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right) \right|, \triangle PQR = \frac{1}{2} \left| \det \left( \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR} \right) \right|$。試利用行列式的性質求出$\triangle PQR$與$\triangle ABC$的面積比。

參考資料

[1] http://server-test.net/math/php.php?name=tokyo&v1=0&v2=1961&v3=1&v4=4&y=1961&n=4

評：該網站作者的解法頗複雜啊...原因在於他的向量解法只用半套，解出了邊長比後，又回去傳統的面積比、線段比解法，太繁瑣(笨)。如果要用向量玩到底，就應該引入行列式進來，把這道題目完全(向量)代數化，僅靠純粹的展開計算就可以得到答案。

Apostol Linear Algebra Exercise 0.26.9

問題

用0.24節介紹的de Moivre公式證明以下各公式。

(a) $\cos 4x = 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x + 1$。

(b) $\sin 4x = \sin x \left( 8 \cos^3 x - 4 \cos x \right)$。

(c) 證明(a)和(b)可通過微分互相推導。

解答

考慮$\left( \cos x + i \sin x \right)^4$，同時用兩種方式展開：二項式展開與de Moivre定理，得到
$$\sum_{k=0}^{4} {4 \choose k} \cos^{4-k} x \cdot i^k \sin^k x = \cos 4x + i \sin 4x.$$
比較實部與虛部，有
$$\cos 4x = {4 \choose 0} \cos^4 x + {4 \choose 2} \cos^2 x \cdot i^2 \sin^2 x + {4 \choose 4} i^4 \sin^4 x,$$
以及
$$i\sin 4x = {4 \choose 1} \cos^3 x \cdot i \sin x + {4 \choose 3} \cos x \cdot i^3 \sin^3 x.$$

(a)
\begin{eqnarray*} \cos 4x &=& {4 \choose 0} \cos^4 x + {4 \choose 2} \cos^2 x \cdot i^2 \sin^2 x + {4 \choose 4} i^4 \sin^4 x \\ &=& \cos^4 x + 6 \cos^2 x \cdot (-1) \sin^2 x + \sin^4 x\\ &=& \cos^4 x - 6 \cos^2 x \left( 1 - \cos^2 x \right) + \left( 1 - \cos^2 x \right)^2 \\ &=& \cos^4 x - 6 \cos^2 x + 6 \cos^4 x + 1 - 2 \cos^2 x + \cos^4 x \\ &=& 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x +1 \end{eqnarray*}

(b)
\begin{eqnarray*} \sin 4x &=& {4 \choose 1} \cos^3 x \sin x + {4 \choose 3} \cos x \cdot i^2 \sin^3 x \\ &=& 4 \cos^3 x \sin x + 4 \cos x \cdot (-1) \sin^3 x \\ &=& \sin x \left( 4 \cos^3 x - 4 \cos x \sin^2 x \right) \\ &=& \sin x \left[ 4 \cos^3 x - 4 \cos x \left( 1 - \cos^2 x \right) \right] \\ &=& \sin x \left( 4 \cos^3 x - 4 \cos x + 4 \cos^3 x \right) \\ &=& \sin x \left( 8 \cos^3 x - 4 \cos x \right) \end{eqnarray*}

(c) 我們首先從(a)所得結果出發，想辦法通過微分推出(b)。
\begin{eqnarray*}
\frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \cos 4x &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \left( 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x +1 \right), \\
- \sin 4x \cdot 4 &=& 8 \cdot 4 \cos^3 x (- \sin x) - 8 \cdot 2 \cos x (- \sin x), \\
-4 \sin 4x &=& -32 \cos^3 x \sin x + 16 \cos x \sin x, \\
\sin 4x &=& 8 \cos^3 x \sin x - 4 \cos x \sin x \\
&=& \sin x \left( 8 \cos^3 x - 4 \cos x \right).
\end{eqnarray*}
然後再從(b)推出(a)。
\begin{eqnarray*}
\frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \sin 4x &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \left[ \sin x \left( 8 \cos^3 x - 4 \cos x \right) \right], \\
\cos 4x \cdot 4 &=& \cos x \left( 8 \cos^3 x - 4 \cos x \right) + \sin x \left[ 8 \cdot 3 \cdot \cos^2 x (- \sin x) + 4 \sin x \right] \\
&=& 8 \cos^4 x - 4 \cos^2 x - 24 \cos^2 x \sin^2 x + 4 \sin^2 x \\
&=& 8 \cos^4 x - 4 \cos^2 x - 24 \cos^2 x \left( 1 - \cos^2 x \right) + 4 \left( 1 - \cos^2 x \right) \\
&=& 32 \cos^4 x - 32 \cos^2 x + 4, \\
\cos 4x &=& 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x + 1.
\end{eqnarray*}

Apostol Linear Algebra Exercise 0.26.8

問題

令$f(x) = \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t$，其中$g$是一個給定的在任意點都可微的函數。

(a) 證明$f'(x) = g(x) - \int_{0}^{x} g(t) \sin (x-t) \, {\rm d}t$。
[提示：$\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$。]

(b) 求滿足$f''(x) + f(x) = a g'(x) + b g(x)$的常數$a$和$b$。

解答

(a) 根據提示，首先對被積函數$g(t) \cos (x-t)$展開，如下，

\begin{eqnarray*} f(x) &=& \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t \\ &=& \int_{0}^{x} g(t) (\cos x \cos t + \sin x \sin t) \, {\rm d}t \\ &=& \cos x \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \sin x \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t. \end{eqnarray*}

於是

\begin{eqnarray*} f'(x) &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} f(x) \\ &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \left[ \cos x \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \sin x \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t \right] \\ &=& -\sin x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \cos x \cdot g(x) \cos x + \cos x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t + \sin x \cdot g(x) \sin x \\ &=& g(x) \left( \cos^2 x + \sin^2 x \right) - \int_{0}^{x} g(t) (\sin x \cos t - \cos x \sin t) \, {\rm d}t \\ &=& g(x) - \int_{0}^{x} g(t) \sin (x-t) \, {\rm d}t. \end{eqnarray*}

(b) 首先計算$f''(x)$。

\begin{eqnarray*} f''(x) &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} f'(x) \\ &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \left[ -\sin x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \cos x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t + g(x) \right] \\ &=& - \cos x \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t - \sin x \cdot g(x) \cos x - \sin x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t + \cos x g(x) \sin x + g'(x) \\ &=& g'(x) - \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t.  \end{eqnarray*}
於是
$$f''(x) + f(x) = \left[ g'(x) - \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t \right] + \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t = g'(x).$$
所以$a=1, b-0$。

書評：數學女孩秘密筆記-微分篇

書籍基本資料與相關連結

• 書名：數學女孩秘密筆記-微分篇 (日文原版書名：数学ガールの秘密ノート/微分を追いかけて)
• 作者：結城浩
• 繁體中文版譯者：衛宮紘
• 繁體中文版出版社：世茂
• 博客來網路書店連結
• 日文原版日本Amazon連結

書籍章節內容

第1章    位置的變化

第2章    速度的變化

第3章    巴斯卡三角形

第4章    位置、速度、加速度

第5章    除法乘法大亂鬥

評論 

1. 本書的主題是微分學，第1章與第2章以物理的運動學為引子，先以位移與速度的關係導入極限與微分†的概念，然後在第3章轉入Pascal三角形的討論，介紹了二項式定理，然後推出多項式函數$x^n$的微分公式
$$\frac{d}{dx} x^n = n\cdot x^{n-1}.$$
接著再次於第4章回到運動學，以「微分的微分」討論了加速度。結城先生不滿足於侷限在一維直線運動，在第4章的結尾稍微論述了單擺的簡諧運動，以研究振動現象為著眼點探討了正弦函數及其導函數。第5章介紹自然常數$e$。順著數學史的進程，從當年(1690)Jacob Bernoulli對於複利問題的研究談起，介紹了複利公式後讓書中三位要角開始研究了數列
$$\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$$
的歛散性問題。最後以自然指數函數$e^x$的一些性質為結尾結束全書。

2. 以運動學做引子來切入極限與微分的手法，其實符合數學史的發展情況。當年Newton正是為了研究物體的運動情況而創立了微積分。不過結城先生也並未忽視微積分的另一起源：Leibniz關於切線問題及其對Pascal三角形的研究。揉合兩位大數學家的思考與研究，構成了前四章的內容。雖然書中對於數學史上微積分的發展並未著墨甚深，但也讓讀者跟著書中幾位角色一起走過了歷史的軌跡。我認為這樣的寫法相當高明。

平心而論，前四章最出彩的依然是第3章關於Pascal三角形的討論，而物理方面的內容就稍微流於淺薄，並不比一般教科書多了多少內容。我想之所以如此，大概與作者的出身背景不無關連。再怎麼說，《數學女孩》這一系列的書籍還是從離散數學起家。不過雖然我認為物理方面的討論不夠出色，但也只是限於和書中第3章相比。事實上，書中對於位移與速度等等的討論，相當的平緩，逐步深入，對於初學者，例如國中生，其實相當友善。前四章的算式不多，甚至連瞬時速度的定義式
$$v(t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t}$$
都沒有寫出來，僅僅是用文字敘述。但作者更注重圖形的思考，例如第2章的問題2-1，如果沒有準確理解對正文關於速度與位移關係的討論，那麼未必能正確回答。第4章末用切線的概念來求出正弦函數$y = \sin x$的導函數這個手法讓我想起數學家V. I. Arnold曾經出過一道題目：

如果給出了某曲線的各點切線斜率數值所構成的曲線(沒有寫明具體數值)，要怎樣還原出本來的曲線？

(請原諒我忘記該問題的詳細出處)我想若我帶學生讀這本書，應該會提出這道問題讓學生思考。或許限於書本預設讀者程度，第4章雖然討論了簡諧運動，卻沒有給出細緻的力學系統討論、單擺所滿足的微分方程、解二階常係數微分方程的技巧，這或許也是學生讀書會可以補充的內容(不過大概得挪到讀完第5章後)。

第5章是最精彩的一章，從銀行的計息方式開始談，這正是1690年Jacob Bernoulli對於極限$\lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$的研究起點！再次地，結城先生又讓讀者與書中的角色一起走過歷史的軌跡。定義數列$a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$，5.6節使用實數完備性去論證數列的收斂性，同時藉米爾迦之口指出5.4與5.5節論述缺乏嚴密性之處。事實上證明「數列$a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$遞增有上界」這回事在大學微積分課本中，如果採用的是傳統的指數函數引入方式，大概也就是幾行就結束的內容(例如高木貞治的解析概論就只是當一個例題談談而已)。不過因為本書對象讀者並非大學生，這裡結城先生非常、非常詳細地寫出完整的論證過程，幾乎沒有跳過什麼算式，初學者可以從書中的詳細推導學到式子變形的技巧。而對於看不懂大學教科書的人來說，可以來看此書獲得一些幫助。

3. 下面來說說我對於本書不滿意的地方。我認為最嚴重的問題在於沒有區分清楚「微分」這個詞的含意與詞性。事實上，考慮數線上一點$x_0$，設存在正實數$\delta$使得實值函數$f$在區間$(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$有定義。如果極限
$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$
存在，則稱該極限值為函數$f$在點$x_0$的「導數(derivative)」，或是「微商(differential quotient)」，或是「微分係數(differential coefficient)」，一般記做$f'(x_0)$。而求出函數在點$x_0$的導數這樣的過程稱為「求導」，或是「微分(differentiate)」。而我們又另外定義了函數$f$的微分(differential)為線性函數$df|_{x_0}(h) = f'(x_0) h$，幾何直觀為曲線切線上的$y$座標差。

簡單來說，「微分」這個字詞有雙重含義。如果做動詞使用，是指「求出導數」；如果做名詞使用，是指可微函數所誘導的線性函數。兩者相當不同。在台灣，並沒有仔細地區分這些名詞的真確含義。不明白這些細微差別的人，某些情況在討論時，勢必會遭遇到「無法確切表達自己要說什麼」的窘境。

第5章的指數函數$e^x$的討論結束的有點草，尤其是關於$e$的無窮展開，
$$e = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$$
未給出什麼說明。也許結城先生希望讀者自己推導？

最後，「必須」與「必需」沒有區分明白。一般說來，「必須」作副詞用，後頭要接動詞；而「必需」作動詞用，後頭接名詞。例如「你必須『完成』回家作業」與「生活必需『品』」這兩句話，「必須」後頭接了動詞「完成」；而「必需品」中的「品」則是指物品，當名詞用。

在第173頁第4行，原文作「我們必需證明...」，應更正為「我們必須證明...」。

在第176頁倒數第6行，原文作「我們必需比較各項...」，應更正為「我們必須比較各項...」。

4. 整體來說，雖然有部分用字遣詞混淆不清，不過瑕不掩瑜，仍然是一本相當棒的書，可讀性強，對讀者相當友善，必定可以達到「開卷有益」。適合的讀者有：準備學或是學過理化運動學的國三學生、高中學生、大學文組的學生。

相關連結

台北市成功高中的陳彥宏老師也有一篇關於本書的書評，請見台北市成功高中陳彥宏老師的書評 (發表於數學學科中心電子報)。