pdf檔案連結:【91年,基測,第一次,數學科,詳解】
2019年1月25日 星期五
2019年1月23日 星期三
2019年1月22日 星期二
2019年1月14日 星期一
東京大學,1961,文科/理科,前期,第4題:線段分割二比一,求中心小三角形面積
問題
設△ABC的三邊¯BC,¯CA,¯AB上頭分別有點L,M,N使得BLLC=CMMA=ANNM=12,其中¯AL與¯CN交點為P,¯AL與¯BM交點為Q,¯BM與¯CN交點為R。試求出△PQR與△ABC的面積比。
解答1 (國中) 綜合幾何法
- 證明三角形共邊關係:△ANC:△LNC=¯AP:¯LP。
- 證明:¯AP:¯LP=3:4。
- 證明:△LBM:△ABM=¯LQ:¯AQ。
- 證明:¯LQ:¯AQ=1:6。
- 證明:¯AP:¯PQ:¯QL=3:3:1。
- 證明:△ABQ=27△ABC。
- 討論△BCR與△ABC的關係。
- 討論△CAP與△ABC的關係。
- 求出△PQR與△ABC的面積比。
解答2 (高中) 向量法
- 設→AL=s1→AB+t1→AC,試利用分點公式求出s1,t1之值。
- 設→AP=s2→AN+t2→AC,試利用平行關係及分點公式求出s2,t2之值。
- 將→BQ表示為→BC與→BA的線性組合。
- 將→CR表示為→CA與→CB的線性組合。
- 將→PQ表示為→AB與→AC的線性組合。
- 將→PR表示為→AB與→AC的線性組合。
- 根據三角形的行列式面積公式有△ABC=12|det(→AB,→AC)|,△PQR=12|det(→PQ,→PR)|。試利用行列式的性質求出△PQR與△ABC的面積比。
參考資料
評:該網站作者的解法頗複雜啊...原因在於他的向量解法只用半套,解出了邊長比後,又回去傳統的面積比、線段比解法,太繁瑣(笨)。如果要用向量玩到底,就應該引入行列式進來,把這道題目完全(向量)代數化,僅靠純粹的展開計算就可以得到答案。
2019年1月10日 星期四
Apostol Linear Algebra Exercise 0.26.9
問題
用0.24節介紹的de Moivre公式證明以下各公式。
(a) cos4x=8cos4x−8cos2x+1。
(b) sin4x=sinx(8cos3x−4cosx)。
(c) 證明(a)和(b)可通過微分互相推導。
解答
考慮(cosx+isinx)4,同時用兩種方式展開:二項式展開與de Moivre定理,得到
4∑k=0(4k)cos4−kx⋅iksinkx=cos4x+isin4x.
比較實部與虛部,有
cos4x=(40)cos4x+(42)cos2x⋅i2sin2x+(44)i4sin4x,
以及
isin4x=(41)cos3x⋅isinx+(43)cosx⋅i3sin3x.
(a)
cos4x=(40)cos4x+(42)cos2x⋅i2sin2x+(44)i4sin4x=cos4x+6cos2x⋅(−1)sin2x+sin4x=cos4x−6cos2x(1−cos2x)+(1−cos2x)2=cos4x−6cos2x+6cos4x+1−2cos2x+cos4x=8cos4x−8cos2x+1
(b)
sin4x=(41)cos3xsinx+(43)cosx⋅i2sin3x=4cos3xsinx+4cosx⋅(−1)sin3x=sinx(4cos3x−4cosxsin2x)=sinx[4cos3x−4cosx(1−cos2x)]=sinx(4cos3x−4cosx+4cos3x)=sinx(8cos3x−4cosx)
(c) 我們首先從(a)所得結果出發,想辦法通過微分推出(b)。
ddxcos4x=ddx(8cos4x−8cos2x+1),−sin4x⋅4=8⋅4cos3x(−sinx)−8⋅2cosx(−sinx),−4sin4x=−32cos3xsinx+16cosxsinx,sin4x=8cos3xsinx−4cosxsinx=sinx(8cos3x−4cosx).
然後再從(b)推出(a)。
ddxsin4x=ddx[sinx(8cos3x−4cosx)],cos4x⋅4=cosx(8cos3x−4cosx)+sinx[8⋅3⋅cos2x(−sinx)+4sinx]=8cos4x−4cos2x−24cos2xsin2x+4sin2x=8cos4x−4cos2x−24cos2x(1−cos2x)+4(1−cos2x)=32cos4x−32cos2x+4,cos4x=8cos4x−8cos2x+1.
Apostol Linear Algebra Exercise 0.26.8
問題
令f(x)=∫x0g(t)cos(x−t)dt,其中g是一個給定的在任意點都可微的函數。
(a) 證明f′(x)=g(x)−∫x0g(t)sin(x−t)dt。
[提示:cos(a−b)=cosacosb+sinasinb。]
(b) 求滿足f″(x)+f(x)=ag′(x)+bg(x)的常數a和b。
解答
(a) 根據提示,首先對被積函數g(t)cos(x−t)展開,如下,
f(x)=∫x0g(t)cos(x−t)dt=∫x0g(t)(cosxcost+sinxsint)dt=cosx∫x0g(t)costdt+sinx∫x0g(t)sintdt.
於是
f′(x)=ddxf(x)=ddx[cosx∫x0g(t)costdt+sinx∫x0g(t)sintdt]=−sinx⋅∫x0g(t)costdt+cosx⋅g(x)cosx+cosx⋅∫x0g(t)sintdt+sinx⋅g(x)sinx=g(x)(cos2x+sin2x)−∫x0g(t)(sinxcost−cosxsint)dt=g(x)−∫x0g(t)sin(x−t)dt.
(b) 首先計算f″(x)。
f″(x)=ddxf′(x)=ddx[−sinx⋅∫x0g(t)costdt+cosx⋅∫x0g(t)sintdt+g(x)]=−cosx∫x0g(t)costdt−sinx⋅g(x)cosx−sinx⋅∫x0g(t)sintdt+cosxg(x)sinx+g′(x)=g′(x)−∫x0g(t)cos(x−t)dt.
於是
f″(x)+f(x)=[g′(x)−∫x0g(t)cos(x−t)dt]+∫x0g(t)cos(x−t)dt=g′(x).
所以a=1,b−0。
於是
f″(x)+f(x)=[g′(x)−∫x0g(t)cos(x−t)dt]+∫x0g(t)cos(x−t)dt=g′(x).
所以a=1,b−0。
2019年1月4日 星期五
書評:數學女孩秘密筆記-微分篇
書籍基本資料與相關連結
- 書名:數學女孩秘密筆記-微分篇 (日文原版書名:数学ガールの秘密ノート/微分を追いかけて)
- 作者:結城浩
- 繁體中文版譯者:衛宮紘
- 繁體中文版出版社:世茂
- 博客來網路書店連結
- 日文原版日本Amazon連結
書籍章節內容
第1章 位置的變化
第2章 速度的變化
第3章 巴斯卡三角形
第4章 位置、速度、加速度
第5章 除法乘法大亂鬥
評論
1. 本書的主題是微分學,第1章與第2章以物理的運動學為引子,先以位移與速度的關係導入極限與微分†的概念,然後在第3章轉入Pascal三角形的討論,介紹了二項式定理,然後推出多項式函數xn的微分公式ddxxn=n⋅xn−1.
接著再次於第4章回到運動學,以「微分的微分」討論了加速度。結城先生不滿足於侷限在一維直線運動,在第4章的結尾稍微論述了單擺的簡諧運動,以研究振動現象為著眼點探討了正弦函數及其導函數。第5章介紹自然常數e。順著數學史的進程,從當年(1690)Jacob Bernoulli對於複利問題的研究談起,介紹了複利公式後讓書中三位要角開始研究了數列
(1+1n)n
的歛散性問題。最後以自然指數函數ex的一些性質為結尾結束全書。
2. 以運動學做引子來切入極限與微分的手法,其實符合數學史的發展情況。當年Newton正是為了研究物體的運動情況而創立了微積分。不過結城先生也並未忽視微積分的另一起源:Leibniz關於切線問題及其對Pascal三角形的研究。揉合兩位大數學家的思考與研究,構成了前四章的內容。雖然書中對於數學史上微積分的發展並未著墨甚深,但也讓讀者跟著書中幾位角色一起走過了歷史的軌跡。我認為這樣的寫法相當高明。
平心而論,前四章最出彩的依然是第3章關於Pascal三角形的討論,而物理方面的內容就稍微流於淺薄,並不比一般教科書多了多少內容。我想之所以如此,大概與作者的出身背景不無關連。再怎麼說,《數學女孩》這一系列的書籍還是從離散數學起家。不過雖然我認為物理方面的討論不夠出色,但也只是限於和書中第3章相比。事實上,書中對於位移與速度等等的討論,相當的平緩,逐步深入,對於初學者,例如國中生,其實相當友善。前四章的算式不多,甚至連瞬時速度的定義式
v(t)=limΔt→0x(t+Δt)−x(t)Δt
都沒有寫出來,僅僅是用文字敘述。但作者更注重圖形的思考,例如第2章的問題2-1,如果沒有準確理解對正文關於速度與位移關係的討論,那麼未必能正確回答。第4章末用切線的概念來求出正弦函數y=sinx的導函數這個手法讓我想起數學家V. I. Arnold曾經出過一道題目:
如果給出了某曲線的各點切線斜率數值所構成的曲線(沒有寫明具體數值),要怎樣還原出本來的曲線?(請原諒我忘記該問題的詳細出處)我想若我帶學生讀這本書,應該會提出這道問題讓學生思考。或許限於書本預設讀者程度,第4章雖然討論了簡諧運動,卻沒有給出細緻的力學系統討論、單擺所滿足的微分方程、解二階常係數微分方程的技巧,這或許也是學生讀書會可以補充的內容(不過大概得挪到讀完第5章後)。
第5章是最精彩的一章,從銀行的計息方式開始談,這正是1690年Jacob Bernoulli對於極限limn→∞(1+1n)n的研究起點!再次地,結城先生又讓讀者與書中的角色一起走過歷史的軌跡。定義數列an=(1+1n)n,5.6節使用實數完備性去論證數列的收斂性,同時藉米爾迦之口指出5.4與5.5節論述缺乏嚴密性之處。事實上證明「數列an=(1+1n)n遞增有上界」這回事在大學微積分課本中,如果採用的是傳統的指數函數引入方式,大概也就是幾行就結束的內容(例如高木貞治的解析概論就只是當一個例題談談而已)。不過因為本書對象讀者並非大學生,這裡結城先生非常、非常詳細地寫出完整的論證過程,幾乎沒有跳過什麼算式,初學者可以從書中的詳細推導學到式子變形的技巧。而對於看不懂大學教科書的人來說,可以來看此書獲得一些幫助。
3. 下面來說說我對於本書不滿意的地方。我認為最嚴重的問題在於沒有區分清楚「微分」這個詞的含意與詞性。事實上,考慮數線上一點x0,設存在正實數δ使得實值函數f在區間(x0−δ,x0+δ)有定義。如果極限
limh→0f(x0+h)−f(x0)h
存在,則稱該極限值為函數f在點x0的「導數(derivative)」,或是「微商(differential quotient)」,或是「微分係數(differential coefficient)」,一般記做f′(x0)。而求出函數在點x0的導數這樣的過程稱為「求導」,或是「微分(differentiate)」。而我們又另外定義了函數f的微分(differential)為線性函數df|x0(h)=f′(x0)h,幾何直觀為曲線切線上的y座標差。
簡單來說,「微分」這個字詞有雙重含義。如果做動詞使用,是指「求出導數」;如果做名詞使用,是指可微函數所誘導的線性函數。兩者相當不同。在台灣,並沒有仔細地區分這些名詞的真確含義。不明白這些細微差別的人,某些情況在討論時,勢必會遭遇到「無法確切表達自己要說什麼」的窘境。
第5章的指數函數ex的討論結束的有點草,尤其是關於e的無窮展開,
e=∞∑k=01k!
未給出什麼說明。也許結城先生希望讀者自己推導?
最後,「必須」與「必需」沒有區分明白。一般說來,「必須」作副詞用,後頭要接動詞;而「必需」作動詞用,後頭接名詞。例如「你必須『完成』回家作業」與「生活必需『品』」這兩句話,「必須」後頭接了動詞「完成」;而「必需品」中的「品」則是指物品,當名詞用。
在第173頁第4行,原文作「我們必需證明...」,應更正為「我們必須證明...」。
在第176頁倒數第6行,原文作「我們必需比較各項...」,應更正為「我們必須比較各項...」。
4. 整體來說,雖然有部分用字遣詞混淆不清,不過瑕不掩瑜,仍然是一本相當棒的書,可讀性強,對讀者相當友善,必定可以達到「開卷有益」。適合的讀者有:準備學或是學過理化運動學的國三學生、高中學生、大學文組的學生。
相關連結
台北市成功高中的陳彥宏老師也有一篇關於本書的書評,請見台北市成功高中陳彥宏老師的書評 (發表於數學學科中心電子報)。
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