矩陣乘法的結合律

1. 設定與目標

考慮數域$K$。假設我們有三個矩陣 $A, B, C$，其維度分別為：

• $A \in M_{m \times n}(K)$
• $B \in M_{n \times p}(K)$
• $C \in M_{p \times q}(K)$

我們的目標是證明 $(AB)C = A(BC)$。為此，我們只需證明兩邊矩陣對應的第 $(i, j)$ 個元（entry）完全相等。

2. 左式展開：$(AB)C$

首先處理左邊的運算。令 $D = AB$，根據矩陣乘法定義，其第 $(i, t)$ 個元為：

$$d_{it} = \sum_{s=1}^{n} a_{is}b_{st} \quad (1 \le i \le m, 1 \le t \le p)$$

接著令 $E = (AB)C = DC$，則 $E$ 的第 $(i, j)$ 個元 $e_{ij}$ 為：

$$e_{ij} = \sum_{t=1}^{p} d_{it}c_{tj}$$

將 $d_{it}$ 的式子代入，利用分配律將 $c_{tj}$ 移入和號內：

$$e_{ij} = \sum_{t=1}^{p} \left( \sum_{s=1}^{n} a_{is}b_{st} \right) c_{tj} = \sum_{t=1}^{p} \sum_{s=1}^{n} a_{is}b_{st}c_{tj}$$

3. 右式展開：$A(BC)$

現在處理右邊。令 $F = BC$，其第 $(s, j)$ 個元為：

$$f_{sj} = \sum_{t=1}^{p} b_{st}c_{tj} \quad (1 \le s \le n, 1 \le j \le q)$$

接著令 $G = A(BC) = AF$，其第 $(i, j)$ 個元 $g_{ij}$ 為：

$$g_{ij} = \sum_{s=1}^{n} a_{is}f_{sj} = \sum_{s=1}^{n} a_{is} \left( \sum_{t=1}^{p} b_{st}c_{tj} \right)$$

同樣利用分配律展開：

$$g_{ij} = \sum_{s=1}^{n} \sum_{t=1}^{p} a_{is}b_{st}c_{tj}$$

4. 結論

觀察 $e_{ij}$ 與 $g_{ij}$ 的最終表達式：

• $e_{ij} = \sum_{t=1}^{p} \sum_{s=1}^{n} a_{is}b_{st}c_{tj}$
• $g_{ij} = \sum_{s=1}^{n} \sum_{t=1}^{p} a_{is}b_{st}c_{tj}$

由於有限項數的加法滿足交換律與結合律，雙重和號的求和順序可以互換。因此，$e_{ij} = g_{ij}$，這代表 $G = E$，即：

$$A(BC) = (AB)C$$

（證明終了）