三角形面積的終極密碼：希羅公式 (Heron's Formula) 推導全解析
大家好，相信大家在高中時都學過各式各樣的三角形面積公式。其中，希羅公式（又稱海龍公式）絕對是最特別的一個——它完全不需要知道任何角度，只需要三邊長，就能算出三角形的面積。
這份講義將帶你從最熟悉的公式出發，一步步推導，讓你徹底看懂希羅公式背後的代數與幾何之美。這不僅是個公式證明，更是對高中三角函數與代數運算能力的一次總回顧！
Part 1: 我們的起點——必備的先備知識
在開始證明之前，讓我們先回憶一下幾個關鍵的工具：
- 三角形面積公式：這是我們最熟悉的公式之一，利用兩邊長及其夾角來計算面積。 $$ \triangle = \frac{1}{2}ab \sin C $$
- 餘弦定理 (Law of Cosines)：連接三角形三邊長與一個內角的重要橋樑。 $$ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} $$
- 三角函數的平方關係：一個簡單卻極其強大的恆等式。 $$ \sin^2 C + \cos^2 C = 1 \implies \sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} $$
Part 2: 推導的奇幻旅程
我們的目標是將面積公式 $\triangle = \frac{1}{2}ab \sin C$ 中的 $\sin C$ 換掉，讓整個公式只剩下邊長 $a, b, c$。
Step 1: 用邊長取代角度
首先，我們將平方關係代入面積公式，把 $\sin C$ 換成 $\cos C$ 的表示式。
$$ \triangle = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}ab \sqrt{1 - \cos^2 C} $$接著，利用餘弦定理，將 $\cos C$ 換成用三邊長表示的式子。這一步是整個證明的核心！
$$ \triangle = \frac{1}{2}ab \sqrt{1 - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)^2} $$Step 2: 展開與化簡的代數魔法
現在，公式裡已經沒有任何角度了，剩下的是純粹的代數運算。我們把 $\frac{1}{2}ab$ 乘進根號裡，方便後續計算。
$$ \triangle = \sqrt{\left(\frac{1}{2}ab\right)^2 \left[1 - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)^2\right]} $$ $$ = \sqrt{\frac{1}{4}a^2b^2 - \frac{1}{4}a^2b^2 \frac{(a^2 + b^2 - c^2)^2}{4a^2b^2}} $$ $$ = \sqrt{\frac{4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2}{16}} $$Step 3: 平方差公式的連環應用
觀察根號內的分子，你是否看到了熟悉的結構？沒錯，就是**平方差公式** $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$！這裡的 $x$ 是 $2ab$，$y$ 是 $(a^2+b^2-c^2)$。
$$ \triangle = \sqrt{\frac{1}{16} \left[ (2ab)^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2 \right]} $$ $$ = \sqrt{\frac{1}{16} [2ab - (a^2 + b^2 - c^2)][2ab + (a^2 + b^2 - c^2)]} $$ $$ = \sqrt{\frac{1}{16} (2ab - a^2 - b^2 + c^2)(2ab + a^2 + b^2 - c^2)} $$Step 4: 重新整理，再次使用平方差
我們將括號內的項重新整理，配成完全平方式。
$$ \triangle = \sqrt{\frac{1}{16} [c^2 - (a^2 - 2ab + b^2)][(a^2 + 2ab + b^2) - c^2]} $$ $$ = \sqrt{\frac{1}{16} [c^2 - (a-b)^2][(a+b)^2 - c^2]} $$看！又是兩組平方差！我們再次把它們分解開來。
$$ = \sqrt{\frac{1}{16} [c - (a-b)][c + (a-b)][(a+b) - c][(a+b) + c]} $$ $$ = \sqrt{\frac{1}{16} (c - a + b)(c + a - b)(a + b - c)(a + b + c)} $$Step 5: 引入半周長 s，迎接最終型態
為了讓公式更優雅，我們引入一個新的符號：半周長 (semi-perimeter) $s$。
$$ s = \frac{a+b+c}{2} $$現在，我們來看看根號裡的四個括號如何用 $s$ 來表示：
- $a+b+c = 2s$
- $a+b-c = (a+b+c) - 2c = 2s - 2c = 2(s-c)$
- $a+c-b = (a+b+c) - 2b = 2s - 2b = 2(s-b)$
- $b+c-a = (a+b+c) - 2a = 2s - 2a = 2(s-a)$
將這些代回我們的面積公式：
$$ \triangle = \sqrt{\frac{1}{16} \cdot 2(s-a) \cdot 2(s-b) \cdot 2(s-c) \cdot 2s} $$ $$ = \sqrt{\frac{16}{16} \cdot s(s-a)(s-b)(s-c)} $$於是，我們得到了最終的完美形式：
$$ \triangle = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$Part 3: 總結與反思
我們從一個包含角度的面積公式 $\triangle = \frac{1}{2}ab \sin C$ 出發，巧妙地結合了餘弦定理與多次的平方差運算，最終推導出一個只與三邊長有關的優美公式。
這個過程不僅展現了數學符號運算的威力，也體現了從不同知識點（面積、邊、角）之間建立聯繫的數學思想。希望這次的複習，能讓你對高中數學有一個更全面、更深刻的理解。
