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2022年9月17日 星期六

負負得正

今天上高二的課,學生很好奇大學數學系在學什麼,我隨口舉了抽象代數中環論的負負得正為例子。想起自己在YouTube上最早發的教學影片就是證明負負得正,不過一直沒有寫成文章。為了以後教學方便,今天就寫下來。

考慮具么環(ring with identity)R,下面證明所謂的負負得正:(1)×(1)=1

(1)×(1)=(1)×(1)+0[0]=(1)×(1)+[1+(1)][]=(1)×(1)+1+(1)×1[1]=(1)×(1)+(1)×1+1[]=[(1)×(1)+(1)×1]+1[]=(1)×[(1)+1]+1[]=(1)×0+1[]=0+1[]=1[0]

參考

Garrett Birkhoff, Saunders Mac Lane, A Survey of Modern Algebra (5th edn.), A K Peters/CRC Press, 1998

a×0=0,任何數乘以零還是零

考慮具么環(ring with identity)R,對於其中任一元素a,下面證明a×0=0

a×0=a×0+0[0]=a×0+[a+(a)][]=a×0+a×1+(a)[1]=(a×0+a×1)+(a)[]=a×(0+1)+(a)[]=a×1+(a)[0]=a+(a)[1]=0[]

2022年9月16日 星期五

一道式的運算題目

==題目== 

若三個非零實數a,b,c滿足a+b+c=a2+b2+c2=2,則

(1a)2bc+(1b)22ca+(1c)23ab

的值為何?

==解答==

本題的兩個約束條件a+b+c=2a2+b2+c2=2分別代表三維空間中的平面與球面,不過幾何意象對於此題的求解可稱毫無幫助,所以不該朝幾何方向思考。

事實上滿足兩約束條件的集合在空間中是一個圓,不容易參數化,然而所求式子基本上肯定是個定值(不帶參數),所以我們必須採用代數手段,才能解出具體的數值。

說到這裡,其實我們可以採用偷吃步,想辦法湊出三個數a,b,c來滿足約束條件,然後代入所求式子,得到的答案必然是滿足所有情況的答案,也就是用特例去矇分數。

不過我自己既然已經用合法的手段算出答案,那瞎矇胡湊的工作就留給讀者,我實在懶得思考,不願花太多心力在這種無聊的事上頭。(我完整解出這道問題當然有資格這樣說)

現在開始講我的正經解法。

再繼續觀察所要求值的式子,肯定是知道(1a)bc(1b)ca(1c)ab的比例後,才有辦法算出來。不太可能是這幾個分數通分化簡後得到一個漂亮的數字,因為這幾個分母的係數感覺帶有隨意性。

要找出(1a)bc的關係,我們從a+b+c=2著手。

a+b+c=2b+c=2a(b+c)2=(2a)2[bc]b2+2bc+c2=44a+a2(2a2)+2bc=44a+a2bc=12a+a2bc=(1a)2[]

其他的兩項也是照樣辦理,可得

ca=(1b)2ab=(1c)2.

因此所求

(1a)2bc+(1b)22ca+(1c)23ab=1+12+13=116.

(解答終了)

==出處==

好小子,勾結境外勢力來挑戰為師😀

題目

「金面佛」苗人鳳(1984年,《新飛狐外傳》,邵氏)

2022年9月1日 星期四

許介彥《數學悠哉遊》,第11單元,〈線性遞迴的求解〉,練習題3,詳解

==問題== 

集合{1,2,3}總共有23=8個部分集合,其中有些部分集合所含的元素中沒有任何兩個元素的大小之差為1,這樣的部分集合有,{1},{2},{3},{1,3}等五個。對任意正整數n,假設an代表集合{1,2,,n}的所有部分集合中,不含大小之差為1的兩個元素的部分集合個數;我們已知a3=5,試用遞迴的方式定義數列a1,a2,a3,,然後利用本篇的方法求出an的一般式。

==解答==

n時,將集合{1,2,,n}滿足題目所求的部分集合所構成的集合記為Dn

下面列出前幾個Dn

D1={,{1}},D2={,{1},{2}},D3={,{1},{2},{3},{1,3}},D4={,{1},{2},{3},{4},{1,3},{1,4},{2,4}},D5={,{1},{2},{3},{4},{5},{1,3},{1,4},{1,5},{2,4},{2,5},{3,5},{1,3,5}}.

於是可知

a1=2,a2=3,a3=5,a4=8,a5=13.

猜測{an}為Fibonacci數列。

下面來證明{an}確實為Fibonacci數列。

首先觀察n=5的情形,在D5中,,{1},{2},{3},{4},{1,3},{1,4},{2,4}都恰好是D4的所有元素,而剩下的{5},{1,5},{2,5},{3,5},{1,3,5},如果把5刪去,變成,{1},{2},{3},{1,3},恰好就是D3的所有元素。所以自然有

a5=a4+a3.

從而an+2=an+1+an應該會成立。

對於充分大的n,在Dn+2中,依據「是否包含元素n+2」可分為兩大類,我們將含有元素n+2的子集合所構成的集合記為An+2,而不含元素n+2的子集合所構成的集合記為Bn+2。所以顯然有

Dn+2=An+2Bn+2,An+2Bn+2=.

An+2中,每個成員集合都含有元素n+2,而第二大的元素要嘛不存在,要嘛不超過n,因此如果將所有成員集合中的元素n+2刪除,於是這些集合就都會變成Dn的元素。

另外,在Dn中,由於每個成員集合中所包含的數最大不超過n,因此如果在每個成員集合中的尾巴添上n+2,那麼這些新構造出來的集合都會是Dn+2的元素。

以上我們構造出An+2Dn之間的一個雙射(bijection),故|An+2|=|Dn|=an

接著來討論Bn+2

由於其中每個成員集合皆不包含n+2,所以要不是空集合,要不所含的數最大不超過n+1,同時因為Bn+2要滿足條件「部分集合所含的元素中沒有任何兩個元素的大小之差為1」,於是可斷定Bn+2根本就是Dn+1,從而|Bn+2|=|Dn+1|=an+1

綜上所述,我們確實得到

an+2=an+1+an,(n1).

此為Fibonacci數列關係式,其一般式的解法可見課文第149頁,在此不加贅述。

(解答終了)