負負得正

今天上高二的課，學生很好奇大學數學系在學什麼，我隨口舉了抽象代數中環論的負負得正為例子。想起自己在YouTube上最早發的教學影片就是證明負負得正，不過一直沒有寫成文章。為了以後教學方便，今天就寫下來。

考慮具么環（ring with identity）$R$，下面證明所謂的負負得正：$(-1) \times (-1) = 1$。

$$\begin{align*} (-1) \times (-1) &= (-1) \times (-1) + 0 &\quad\quad[0的定義] \\ &= (-1) \times (-1) + [1 + (-1)] &\quad\quad[加法反元素] \\ &= (-1) \times (-1) + 1 + (-1) \times 1 &\quad\quad[1的定義] \\ &= (-1) \times (-1) + (-1) \times 1 + 1 &\quad\quad[加法交換律] \\ &= [(-1) \times (-1) + (-1) \times 1] + 1 &\quad\quad[加法結合律] \\ &= (-1) \times [(-1) + 1] + 1 &\quad\quad[分配律] \\ &= (-1) \times 0 + 1  &\quad\quad[加法反元素] \\&= 0 + 1 &\quad\quad[任何數乘以零還是零] \\&= 1 &\quad\quad[0的定義] \end{align*}$$

參考

Garrett Birkhoff, Saunders Mac Lane, A Survey of Modern Algebra (5th edn.), A K Peters/CRC Press, 1998

$a \times 0 = 0$，任何數乘以零還是零

考慮具么環（ring with identity）$R$，對於其中任一元素$a$，下面證明$a \times 0 = 0$。

$$\begin{align*} a \times 0 &= a \times 0 + 0 & \quad\quad[0的定義] \\ &= a \times 0 + [a + (-a)] & \quad\quad[加法反元素] \\ &= a \times 0 + a \times 1 + (-a) &\quad\quad[1的定義] \\ &= (a \times 0 + a \times 1) + (-a) &\quad\quad[加法結合律] \\ &= a \times (0 + 1) + (-a) &\quad\quad[分配律] \\ &= a \times 1 + (-a) &\quad\quad[0的定義] \\ &= a + (-a) &\quad\quad[1的定義] \\ &= 0 &\quad\quad[加法反元素] \end{align*}$$

一道式的運算題目

==題目== 

若三個非零實數$a, b, c$滿足$a+b+c=a^2+b^2+c^2=2$，則

$$\frac{(1-a)^2}{bc}+\frac{(1-b)^2}{2ca}+\frac{(1-c)^2}{3ab}$$

的值為何？

==解答==

本題的兩個約束條件$a+b+c=2$與$a^2+b^2+c^2=2$分別代表三維空間中的平面與球面，不過幾何意象對於此題的求解可稱毫無幫助，所以不該朝幾何方向思考。

事實上滿足兩約束條件的集合在空間中是一個圓，不容易參數化，然而所求式子基本上肯定是個定值（不帶參數），所以我們必須採用代數手段，才能解出具體的數值。

說到這裡，其實我們可以採用偷吃步，想辦法湊出三個數$a, b, c$來滿足約束條件，然後代入所求式子，得到的答案必然是滿足所有情況的答案，也就是用特例去矇分數。

不過我自己既然已經用合法的手段算出答案，那瞎矇胡湊的工作就留給讀者，我實在懶得思考，不願花太多心力在這種無聊的事上頭。（我完整解出這道問題當然有資格這樣說）

現在開始講我的正經解法。

再繼續觀察所要求值的式子，肯定是知道$(1-a)$與$bc$、$(1-b)$與$ca$、$(1-c)$與$ab$的比例後，才有辦法算出來。不太可能是這幾個分數通分化簡後得到一個漂亮的數字，因為這幾個分母的係數感覺帶有隨意性。

要找出$(1-a)$與$bc$的關係，我們從$a+b+c=2$著手。

$$\begin{align*} a+b+c=2 &\Rightarrow b+c = 2-a \\ &\Rightarrow (b+c)^2 = (2-a)^2 \quad\quad  [平方是為了製造bc] \\ & \Rightarrow b^2+2bc+c^2 = 4-4a+a^2 \\ & \Rightarrow (2-a^2)+2bc = 4-4a+a^2  \\ & \Rightarrow bc = 1-2a+a^2 \\ & \Rightarrow bc = (1-a)^2 \quad\quad [大功告成]\end{align*}$$

其他的兩項也是照樣辦理，可得

$$ca = (1 - b)^2 \quad 與 \quad ab = (1 - c)^2.$$

因此所求

$$\frac{(1-a)^2}{bc}+\frac{(1-b)^2}{2ca}+\frac{(1-c)^2}{3ab} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6}.$$

（解答終了）

==出處==

好小子，勾結境外勢力來挑戰為師😀

題目

「金面佛」苗人鳳（1984年，《新飛狐外傳》，邵氏）

許介彥《數學悠哉遊》，第11單元，〈線性遞迴的求解〉，練習題3，詳解

==問題== 

集合$\{1, 2, 3\}$總共有$2^3 = 8$個部分集合，其中有些部分集合所含的元素中沒有任何兩個元素的大小之差為1，這樣的部分集合有$\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 3\}$等五個。對任意正整數$n$，假設$a_n$代表集合$\{1, 2, \cdots, n\}$的所有部分集合中，不含大小之差為1的兩個元素的部分集合個數；我們已知$a_3 = 5$，試用遞迴的方式定義數列$a_1, a_2, a_3, \cdots$，然後利用本篇的方法求出$a_n$的一般式。

==解答==

$n$時，將集合$\{1, 2, \cdots, n\}$滿足題目所求的部分集合所構成的集合記為$D_n$。

下面列出前幾個$D_n$。

$$\begin{eqnarray*} D_1 &=& \left\{ \varnothing, \{1\} \right\}, \\ D_2 &=& \left\{ \varnothing, \{1\}, \{2\} \right\},  \\ D_3 &=& \left\{ \varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 3\} \right\}, \\ D_4 &=& \left\{ \varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}, \{2, 4\} \right\}, \\ D_5 &=& \left\{ \varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{5\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}, \{1, 5\}, \{2, 4\}, \{2, 5\}, \{3, 5\}, \{1, 3, 5\} \right\}. \end{eqnarray*}$$

於是可知

$$a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 5, a_4 = 8, a_5 = 13.$$

猜測$\{ a_n \}$為Fibonacci數列。

下面來證明$\{ a_n \}$確實為Fibonacci數列。

首先觀察$n=5$的情形，在$D_5$中，$\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}, \{2, 4\}$都恰好是$D_4$的所有元素，而剩下的$\{5\}, \{1, 5\}, \{2, 5\}, \{3, 5\}, \{1, 3, 5\}$，如果把$\bf 5$刪去，變成$\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 3\}$，恰好就是$D_3$的所有元素。所以自然有

$$a_5 = a_4 + a_3.$$

從而$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$應該會成立。

對於充分大的$n$，在$D_{n+2}$中，依據「是否包含元素$n+2$」可分為兩大類，我們將含有元素$n+2$的子集合所構成的集合記為$A_{n+2}$，而不含元素$n+2$的子集合所構成的集合記為$B_{n+2}$。所以顯然有

$$D_{n+2} = A_{n+2} \cup B_{n+2}, {\text{且}} A_{n+2} \cap B_{n+2} = \varnothing.$$

在$A_{n+2}$中，每個成員集合都含有元素$n+2$，而第二大的元素要嘛不存在，要嘛不超過$n$，因此如果將所有成員集合中的元素$n+2$刪除，於是這些集合就都會變成$D_n$的元素。

另外，在$D_n$中，由於每個成員集合中所包含的數最大不超過$n$，因此如果在每個成員集合中的尾巴添上$n+2$，那麼這些新構造出來的集合都會是$D_{n+2}$的元素。

以上我們構造出$A_{n+2}$與$D_n$之間的一個雙射（bijection），故$\left| A_{n+2} \right| = \left| D_n \right| = a_n$。

接著來討論$B_{n + 2}$

由於其中每個成員集合皆不包含$n + 2$，所以要不是空集合，要不所含的數最大不超過$n + 1$，同時因為$B_{n+2}$要滿足條件「部分集合所含的元素中沒有任何兩個元素的大小之差為1」，於是可斷定$B_{n+2}$根本就是$D_{n+1}$，從而$\left| B_{n+2} \right| = \left| D_{n+1} \right| = a_{n+1}$。

綜上所述，我們確實得到

$$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n, (n \ge 1).$$

此為Fibonacci數列關係式，其一般式的解法可見課文第149頁，在此不加贅述。

（解答終了）