用幾何意義處理一道雙曲線積分問題

前兩天在twitter上看到一到積分題

很顯然就是得利用部分積分法與三角代換去處理。

該推文附上的解答為

其實也不甚困難。

不過我偏好用幾何眼光處理問題，所以下面的解法是90％的幾何、10％的代數/微積分。

首先注意被積函數$y = \sqrt{x^2+1}$是雙曲線$y^2 - x^2 = 1$的一個分支，我們將之圖形繪出，並標出幾個線段的長度，如下所示。

於是所求的積分$\int \limits^{1}_{0} \sqrt{x^2+1} \, dx$就是「曲邊梯形」OACB的面積，而此塊面積可以分解如

$$OACB = \Delta BOE + \Delta OEA + \Delta DEA + \text{曲邊四邊形}CDEB.$$

其中$\Delta BOE, \Delta OEA, \Delta DEA$都是一樣的等腰直角三角形，邊長為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，面積為$\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$，所以這三塊面積為$\frac{3}{4}$。

下面接著處理曲邊四邊形CDEB。由於$CDEB = CFDEB - \Delta CDF$，所以誘導我們去考慮將圖形進行順時針$45^{\circ}$旋轉，得下圖。

原本的雙曲線$y^2 - x^2 = 1$經過旋轉後變為$y = \pm \frac{1}{2x}$。於是

$$CFDEB = \int \limits_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1+\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{2x} \, dx = \frac{1}{2} \int \limits_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1+\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2} \left[ \ln \left( 1+\frac{\sqrt{2}}{2} \right) - \ln \frac{\sqrt{2}}{2} \right] = \frac{1}{2} \ln \left( 1+\sqrt{2} \right).$$

所以

$$CDEB = CFDEB - \Delta CDF = \frac{1}{2} \ln \left( 1+\sqrt{2} \right) - \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ln \left( 1+\sqrt{2} \right) - \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

然後

\begin{align*}\int \limits^{1}_{0} \sqrt{x^2+1} \, dx &= \Delta BOE + \Delta OEA + \Delta DEA + CDEB \\ &= \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \ln \left( 1+\sqrt{2} \right) - \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \\ & = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \ln \left( 1+\sqrt{2} \right) \end{align*}

（解答終了）

 可愛妹子時間～

涼本奈緒好可愛呀！！！（@naosuzumoto）

2018印度理工學院入學考試高級試(JEE Advanced)的一題微分方程初始值問題

==問題== 

(譯文)

設可微函數$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$滿足$f(0) = 1$且對於任意實數$x, y$有

$$f(x+y) = f(x)f'(y) + f'(x)f(y).$$

試求出$\ln f(4)$之值。

(原文)

Let $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be a differentiable function with $f(0) = 1$ and satisfying the equation

$$f(x+y) = f(x)f'(y) + f'(x)f(y) \,\, \text{for all}\,\, x, y \in \mathbb{R}.$$

Then the value of $\ln f(4)$ is     .

==解答==

($1^\circ$)

$$\begin{align*} &f(0) = f(0+0) = f(0)f'(0) + f'(0)f(0) \\ \Rightarrow &f(0) = 2f(0)f'(0) \\ \Rightarrow &1 = 2\cdot 1 \cdot f'(0) \\ \Rightarrow &f'(0) = \frac{1}{2}. \end{align*}$$

($2^\circ$)

$$\begin{align*} &f(x) = f(0+x)=f(0)f'(x)+f'(0)f(x) = 1\cdot y' + \frac{1}{2} y \\ \Rightarrow &y = y' + \frac{1}{2} y \\ \Rightarrow &y' = \frac{1}{2}y \\ \Rightarrow & y = e^{\frac{1}{2}x} + C.  \end{align*}$$

$x = 0$代入，得

$$1 = e^{\frac{1}{2}\cdot 0} + C.$$

故$C = 0$，即

$$y = e^{\frac{1}{2}x}.$$

所以

$$\ln f(4) = \ln e^{\frac{1}{2} \cdot 4} = \ln e^2 = 2.$$

==評論==

輕而易舉