連續正整數立方和公式反推數列通項的數學歸納法問題

==問題== 

設${a_n}$是一個正實數所構成的無窮數列，且滿足

$$\sum_{i=1}^{n} a_i^3 = \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2, n\ge 1.$$

是否此數列為$a_n = n$？

[許志農，《算術講義》，第4章  數學歸納法  習題4.4]

==解答==

首先要計算數列的前幾項。

當$n = 1$時，根據數列所滿足的條件有$a_1^3 = (a_1)^2$，解得$a_1 = 1$。

當$n = 2$時，根據數列所滿足的條件有$1^3 + a_2^3 = (1 + a_2)^2$，解得$a_2 = 2$。

當$n = 3$時，根據數列所滿足的條件有$1^3 +2^3 +a_3^3 = (1 + 2 + a_3)^2$，解得$a_3 = 3$。

從以上的計算，猜測$a_n = n$。

假定$a_i = i$對$i =1, 2, \cdots, n$都成立，亦即有$a_1 = 1, a_2 = 2, \cdots, a_n = n$。

當$n+1$時，根據數列所滿足的條件有

$$1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 + a_{n+1}^3 = \left( 1 + 2 + \cdots + n + a_{n+1} \right)^2,$$

其中$1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$，而$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$，代入後得

$$\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + a_{n+1}^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} + a_{n+1} \right)^2,$$

整理得

$$a_{n+1}^3 - n(n+1)a_{n+1} - a_{n+1}^2 = 0.$$

注意$a_{n+1} > 0$，所以上式可約去$a_{n+1}$，得

$$a_{n+1}^2 - a_{n+1} - n(n+1) = 0.$$

因式分解有

$$\left( a_{n+1} + n \right)\left( a_{n+1} - (n+1) \right) = 0.$$

於是$a_{n+1} = n+1$（捨去負根）。因此由數學歸納法證得$a_n = n$。

（解答終了）

用因式分解處理一道不定方程式

補習班的匿名群組中，有學生問了一道不定方程式：

已知$a, b$皆為正整數，且$a<b$，則滿足方程式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{74}$的數對$(a, b)=$            。（有3組解）

同事（不曉得哪一位）給出了以下的解法：

同事的分析十分細密，式子的變形玩得666。我沒有同事那麼擅長處理式子變形，所以想了一個做法：

對於題目的方程式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{3}{74}$左右同乘以$74ab$得

$$74b+74a=3ab,$$

整理得

$$3ab-74a-74b=0$$

聯想因式分解$xy+x+y+1=(x+1)(y+1)$，再對整理後的式子左右同乘以3，得

$$9ab-222a-222b=0.$$

於是可以改寫為

$$(3a - 74)(3b - 74) - 74\times 74 = 0.$$

也就是

$$(3a - 74)(3b - 74) = 74\times 74.$$

其中$3a-74$與$3b-74$都是正整數，且$3a-74<3b-74$，所以將$74\times 74$分解為一小一大的整數的乘積：

$$74\times 74 = 37 \times 148 = 4 \times 1369 = 2 \times 2738 = 1 \times 5476.$$

得到

$$(3a-74, 3b-74) = (37, 148), (4, 1369), (2, 2738), (1, 5476).$$

故解出

$$(a, b) = (37, 74), (26, 481), (X, X), (25, 1850).$$