2020-05-10，統計量構成等差數列的問題

我的可愛家教學生育嫆問了我一道統計的題目，披著統計的外殼考數列，我一時沒有分析出來，回家後想了一會兒才理清頭緒。

先說我的評論是，這種題目對於理解統計思想沒有任何幫助，非常無聊。

儘管無趣，但我們還是想辦法解開。抱怨歸抱怨，問題來了還是得面對。

==問題==

已知7筆數據：2, 5, 2, 4, 10, 2, x，如果此7筆數據的算術平均數、中位數與眾數3個統計量按照由小而大的順序排列起來恰好形成一個公差大於0的等差數列，那麼所有可能的x值其總和為何？

==解答==

首先，最重要的一步是將數據排序：2, 2, 2, 4, 5, 10, x。其中x放在最後並不意味著x是最大的，或是$x \ge 10$，僅僅是因為x未知大小，索性就丟在最後頭。

注意到在數據中，2一共出現了3次，這表示說，無論x取什麼值，在這7筆數據中，2永遠是出現最多次的數據，因此我們可以斷定眾數Mo=2。

題設條件稱「算術平均數、中位數與眾數3個統計量按照由小而大的順序排列起來恰好形成一個公差大於0的等差數列」意味著3個統計量必然是完全相異的！

因為一共有7筆資料，所以中位數Me是由小而大的第4筆數據。

平均數$\mu = \frac{1}{7} \left( 2 + 2 + 2 + 4 + 5 + 10 + x \right) = \frac{x + 25}{7}$。

如果$x \le 2$，則數據排序後必形如：x, 2, 2, 2, 4, 5, 10 （$x < 2$時）或2, 2, 2, 2, 4, 5, 10 （$x = 2$時）。無論是哪個情況，此時第4筆數據都是2，也就是說中位數Me=2，但這樣中位數與眾數就相等了，與題設條件矛盾。因此我們可推論$x > 2$。

如果$2 < x < 4$，則數據排序後必形如：2, 2, 2, x, 4, 5, 10。此時Me=x<4，而$\mu = \frac{x + 25}{7} > \frac{2 + 25}{7} = 3\frac{6}{7}$。此時無法直接判斷Me=x與$\mu$的大小關係。但我們仍然可以分情況討論。無論如何，眾數Mo=2都是最小的。於是Mo, Me, $\mu$三者的大小關係可能是$2 < x < \frac{x + 25}{7}$或$2 < \frac{x + 25}{7} < x$。

若為$2 < x < \frac{x + 25}{7}$，則得到$x - 2 = \frac{x + 25}{7} - x$，解得$x = 3$。

若為$2 < \frac{x + 25}{7} < x$，則得到$x = \frac{36}{5} = 7.2$，不在x的範圍內，不合。

所以當$x$介於2與4之間時，合乎題目條件的值僅有$x = 3$。

如果$x \ge 4$，則數據排序後，前4筆數據必為2, 2, 2, 4，所以中位數Me=4，而$\mu = \frac{x + 25}{7} \ge \frac{4 + 25}{7} = 4 \frac{1}{7} > 4$，所以得到Mo < Me < $\mu$。那麼公差就是$4 - 2 = 2$，因此$\mu = 4 + 2 = 6$，於是$\frac{x + 25}{7} = 6$，解得$x = 17$。

我們已經對x的所有情況都討論分析過了，因此可能的x僅有3或17，故總和為20。

==附記==

本文完稿之時，其中平均數$\mu$有誤算，經朋友許淵智老師確核答案後，始得修正。特此註記致謝。