世界第一簡單統計學、世界第一簡單實驗設計，機率密度函數介紹勘誤

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「澳洲魔術師之夢」的操作流程

在Paul Curzon與Peter McOwan所著的"The Power of Computational Thinking"（中譯本：思考的演算，八旗文化）的第三章「魔術也是一種演算法？」中，談到了一個魔術，名叫「澳洲魔術師之夢」。書本裡對於這個魔術的操作方式，完全以文字敘述，一張圖解都沒有，閱讀上給讀者很大的挑戰。Paul Curzon教授在其Teaching London Computing的YouTube頻道上拍了三部影片講解此魔術，立意甚佳。可惜，由於拍攝畫質不理想，所以我認為無助於學習此魔術的操作。

中文世界中，關於這個魔術的資料，應該是零。就算有，肯定也沒有理論上的探討。我在讀該書那一段時，前前後後看了好幾遍，還是不得要領。 我叫我的學生廖育嫆一起讀這本書，她也讀不懂。基於指導的責任，還有自己的好奇心，花了幾個小時，總算弄懂這個魔術的操作方法了。（撲克牌滑不溜丟的，一直掉到地上，煩死了）

定義：撲克牌的「牌面」意指有數字的那一面。

第1步：挑選出紅心8與紅心A，先放到旁邊去。（書本預設紅心8是我們最後的目標，紅心A則是用來定位的。兩張牌都可以換成其他你想要的牌。）

第2步：將剩下的50張牌洗牌。（撲克牌扣除2張鬼牌後，共有52張。如今先取走紅心8與紅心A，所以剩下50張。）

第3步：將那疊洗好的牌，牌面（有數字的那面）朝下放。

第4步：由上而下，在適當位置插入紅心8以及紅心A（牌面皆朝下），使得紅心8在整疊牌中，由上而下數來是第16張，而紅心A是第32張。操作方式如下圖所示：

第5步：把整副牌整個翻過來，使牌面朝上。先將整疊牌放置在前方桌面的左側，然後用手將牌向右推，將牌鋪平於桌面，使得本來向上牌面的第1張推到桌面的最右側，而最底下的那一張則停在左側原處不動。

鋪好後，此時由左而右數來，第16張必須是紅心8，第32張必須是紅心A。

第6步：將兩隻手懸空在第16張與第32張上方，示意志願觀眾在你兩隻手中間的牌（第17張至第31張之間的牌）當中任意挑選一張。

第7步：整副牌中，從志願觀眾所挑選的牌開始，將含有紅心A的那一部份的牌（以你的視角來說，就是那張被挑選牌右方所有的牌）全部收起，然後放在旁邊。

第8步：將剩下的牌由右而左疊好，使得最右邊的牌會在整疊的最上方。

第9步：拿起疊好的牌，整疊翻轉，使得牌面朝下。然後開始從最上面那一張開始，一張一張地把牌分成兩堆，交替地覆蓋牌面（down）與牌面朝上（under）。也就是說，最上面那一張拿起後要先放在一邊，而且是牌面朝下。然後下一張則是拿起後放在另一邊，而且要牌面朝上。然後再下一張是拿起後放在牌面朝下的那一邊，疊上去。...如此不斷下去，直到手上的牌完全分為兩堆。

第10步：把牌面朝下的那一堆牌移到別處，拿起牌面朝上的那一堆牌，像第9步一樣，整疊翻轉後，讓牌面朝下，然後開始分堆，down與under。不斷續行這樣的動作，最後會剩下一張牌，必然是紅心8。

用95%酒精調配75%酒精

==問題==

今有x毫升的95%酒精溶液，試問要加入多少水，才能調出75％的酒精溶液？

==解答==

先講結論：「4杯95%酒精溶液，再加上1杯水，就得到（差不多）75%酒精溶液」。

以下是計算過程。

在x毫升的95%酒精溶液中，有$x \cdot 95\% = 0.95x$毫升的（純）酒精，所以有$x - 0.95x = 0.05x$毫升的水。（不過本來溶液裡有多少水，一點都不重要，這裡只是順帶提一下。）

假設要加入y毫升的水。

所以在新的溶液中，酒精依然有$0.95x$毫升，然後溶液總容積為$x+y$毫升。讓我們回憶濃度的定義為：
$$\text{體積百分濃度} = \frac{（純）酒精體積}{溶液體積} \times 100\%.$$ 按題目要求，此時應有
$$\frac{0.95x}{x+y} \times 100\% = 75\%,$$ 所以
$$\frac{0.95x}{x+y} = \frac{3}{4}.$$ 交叉相乘後，得
\begin{eqnarray*} 0.95x \cdot 4 &=& (x+y) \cdot 3, \\ 3.8x &=& 3x + 3y, \\ 0.8x &=& 3y, \\ 3y &=& 0.8x, \\ y &=& \frac{0.8x}{3} \approx 0.267x. \end{eqnarray*} 此時
$$x: y \approx x: 0.267x \approx 1: 0.25 = 4: 1.$$ 所以調製75%酒精差不多的配法為：「4杯95%酒精溶液，再加上1杯水，就得到（差不多）75%酒精溶液」。