中國，1991年全國統一高考數學試卷（文科），第10題

==問題==

從4台甲型和5台乙型電視機中任意取出3台，其中至少要有甲型與乙型電視機各1台，則不同的取法共有
（A）140種（B）84種 (C）70種（D）35種

==解==

此題題意不清，未能從題設判斷出電視機是否視為相同物。

分兩種情況討論。

情形1：4台甲型電視機都是相同的、5台乙型電視機都是相同的

此時要區分不同取法，判斷標準為所選取的3台電視機中，有多少台是甲型、多少台是乙型。

假定選取了$x_1$台甲型、$x_2$台乙型，於是得$x_1+x_2=3$，所求選取方法數即為此方程式的非負整數解個數。但注意其中$x_1, x_2 \geq 1$，於是乎原方程式可轉化為$x_1'+x_2'=1$，其中$x_1', x_2' \geq 0$，而此方程式之非負整數解個數為$H(2, 1)=C(2+1-1, 1)=C(2, 1)=2$。故共有2種取法。

這2種取法，實際列出其實是：

• 取法1：2甲1乙；
• 取法2：1甲2乙。

然而此情況之討論結果相對照選項，可知出題者應未將電視機是為相同的。

情形2：4台甲型電視機都是相異的、5台乙型電視機都是相異的

我們可假設4台甲型電視機為：$a_1, a_2, a_3, a_4$，5台乙型電視機為：$b_1, b_2, b_3, b_4, b_5$。

• 所選取3台電視機中，其中有2台甲型電視機與1台乙型電視機

此時有$C(4, 2) \times C(5, 1)=6 \times 5 =30$種方法。

• 所選取3台電視機中，其中有1台甲型電視機與2台乙型電視機

此時有$C(4, 1) \times C(5, 2)=4 \times 10 =40$種方法。

因此總共有$30+40=70$種方法，故選(C)。