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2015年2月9日 星期一

許志農教授《高中數學珍寶》,不等式一題

=題目=

已知:如下圖,正方形α(邊長為a)與正方形β(邊長為b)的面積和為1


求證:剛好包住正方形α與正方形β的矩形面積1+22

 [出處:國立臺灣師範大學數學系許志農教授著《高中數學珍寶》]

=評析=

國立蘭陽女中的陳敏皓老師在HPM 通訊第十七卷第一期的《算幾不等式的證明
(II) 與(III)》介紹了這道題目,並給出了採用算幾不等式的解法,有興趣的人可參考
http://math.ntnu.edu.tw/ horng/letter/hpm1701.pdf

=解答=

α2+β2=1聯想三角函數中最重要的等式
cos2θ+sin2θ=1.
由此自然會想設
a=cosθ,b=sinθ.
注意到α,β都必須是非負實數,所以角度θ必須有所限制,顯然限制範圍是
0θπ2.
觀察題目所給圖形可知,包住兩個正方形的最小矩形,其面積為a(a+b),因此有
a(a+b)=a2+ab=cos2θ+cosθsinθ=1+cos2θ2+12sin2θ=12+12(cos2θ+sin2θ)=12+122(12cos2θ+12sin2θ)=12+22(sinπ4cos2θ+cosπ4sin2θ)=12+22sin(π4+2θ)
現在分析以上函數式中sin(π4+2θ)的最大值。由
0θπ2,

π4π4+2θ54π,
因此當θ=π8時,sin(π4+2θ)有最大值1,所以a×(a+b)有最大值1+22

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