許志農教授《高中數學珍寶》，不等式一題

=題目=

已知：如下圖，正方形$\alpha$(邊長為$a$)與正方形$\beta$(邊長為$b$)的面積和為$1$。

求證：剛好包住正方形$\alpha$與正方形$\beta$的矩形面積$\displaystyle \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$。

 [出處：國立臺灣師範大學數學系許志農教授著《高中數學珍寶》]

=評析=

國立蘭陽女中的陳敏皓老師在HPM 通訊第十七卷第一期的《算幾不等式的證明
(II) 與（III）》介紹了這道題目，並給出了採用算幾不等式的解法，有興趣的人可參考
http://math.ntnu.edu.tw/ horng/letter/hpm1701.pdf。

=解答=

由$\alpha^2 + \beta^2 = 1$聯想三角函數中最重要的等式
$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1.$$
由此自然會想設
$$a = \cos \theta, b = \sin \theta.$$
注意到$\alpha, \beta$都必須是非負實數，所以角度$\theta$必須有所限制，顯然限制範圍是
$$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}.$$
觀察題目所給圖形可知，包住兩個正方形的最小矩形，其面積為$a(a + b)$，因此有
$$\begin{eqnarray*} a(a + b) &=& a^2 + ab \\ &=& \cos^2 \theta + \cos \theta \cdot \sin \theta \\ &=& \frac{1 + \cos 2 \theta}{2} + \frac{1}{2} \sin 2 \theta \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\cos 2\theta + \sin 2\theta) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2\theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\theta \right) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \cos 2\theta + \cos \frac{\pi}{4} \sin 2\theta \right) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} + 2\theta \right) \end{eqnarray*}$$
現在分析以上函數式中$\displaystyle \sin \left( \frac{\pi}{4} + 2\theta \right)$的最大值。由
$$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2},$$
有
$$\frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{4} + 2\theta \leq \frac{5}{4}\pi,$$
因此當$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{8}$時，$\displaystyle \sin \left( \frac{\pi}{4} + 2\theta \right)$有最大值$1$，所以$a \times (a + b)$有最大值$\displaystyle \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$。