=題目=
已知:如下圖,正方形α(邊長為a)與正方形β(邊長為b)的面積和為1。求證:剛好包住正方形α與正方形β的矩形面積1+√22。
[出處:國立臺灣師範大學數學系許志農教授著《高中數學珍寶》]
=評析=
國立蘭陽女中的陳敏皓老師在HPM 通訊第十七卷第一期的《算幾不等式的證明(II) 與(III)》介紹了這道題目,並給出了採用算幾不等式的解法,有興趣的人可參考
http://math.ntnu.edu.tw/ horng/letter/hpm1701.pdf。
=解答=
由α2+β2=1聯想三角函數中最重要的等式cos2θ+sin2θ=1.
由此自然會想設
a=cosθ,b=sinθ.
注意到α,β都必須是非負實數,所以角度θ必須有所限制,顯然限制範圍是
0≤θ≤π2.
觀察題目所給圖形可知,包住兩個正方形的最小矩形,其面積為a(a+b),因此有
a(a+b)=a2+ab=cos2θ+cosθ⋅sinθ=1+cos2θ2+12sin2θ=12+12(cos2θ+sin2θ)=12+12√2(1√2cos2θ+1√2sin2θ)=12+√22(sinπ4cos2θ+cosπ4sin2θ)=12+√22sin(π4+2θ)
現在分析以上函數式中sin(π4+2θ)的最大值。由
0≤θ≤π2,
有
π4≤π4+2θ≤54π,
因此當θ=π8時,sin(π4+2θ)有最大值1,所以a×(a+b)有最大值1+√22。
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