許志農教授《高中數學珍寶》，不等式一題

=題目=

已知：如下圖，正方形$\alpha$(邊長為$a$)與正方形$\beta$(邊長為$b$)的面積和為$1$。

求證：剛好包住正方形$\alpha$與正方形$\beta$的矩形面積$\displaystyle \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$。

 [出處：國立臺灣師範大學數學系許志農教授著《高中數學珍寶》]

=評析=

國立蘭陽女中的陳敏皓老師在HPM 通訊第十七卷第一期的《算幾不等式的證明
(II) 與（III）》介紹了這道題目，並給出了採用算幾不等式的解法，有興趣的人可參考
http://math.ntnu.edu.tw/ horng/letter/hpm1701.pdf。

=解答=

由$\alpha^2 + \beta^2 = 1$聯想三角函數中最重要的等式
$$
\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1.
$$
由此自然會想設
$$
a = \cos \theta, b = \sin \theta.
$$
注意到$\alpha, \beta$都必須是非負實數，所以角度$\theta$必須有所限制，顯然限制範圍是
$$
0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}.
$$
觀察題目所給圖形可知，包住兩個正方形的最小矩形，其面積為$a(a + b)$，因此有
\begin{eqnarray*}
a(a + b) &=& a^2 + ab \\
&=& \cos^2 \theta + \cos \theta \cdot \sin \theta \\
&=& \frac{1 + \cos 2 \theta}{2} + \frac{1}{2} \sin 2 \theta \\
&=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\cos 2\theta + \sin 2\theta) \\
&=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2\theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\theta \right) \\
&=& \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \cos 2\theta + \cos \frac{\pi}{4} \sin 2\theta \right) \\
&=& \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} + 2\theta \right)
\end{eqnarray*}
現在分析以上函數式中$\displaystyle \sin \left( \frac{\pi}{4} + 2\theta \right)$的最大值。由
$$
0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2},
$$
有
$$
\frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{4} + 2\theta \leq \frac{5}{4}\pi,
$$
因此當$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{8}$時，$\displaystyle \sin \left( \frac{\pi}{4} + 2\theta \right)$有最大值$1$，所以$a \times (a + b)$有最大值$\displaystyle \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$。

104年，學測，數學，單選3

題目

有兩組供機器運作的配件$A, B$，其單獨發生故障的機率分別為$0.1, 0.15$。 只有當$A, B$都發生故障時，此機器才無法運作。$A, B$兩配件若用串接方式，前面故障會導致後面故障，但若後面故障則不會影響前面的故障情形；若用並列方式，則故障情形互不影響。若考慮以下三種情形：

(一) 將$B$串接於$A$之後

(二) 將$A$串接於$B$之後

(三) 將$A, B$獨立並列

在情況 (一)、 (二)、 (三)之下，機器無法運作的機率分別為$p_{1}, p_{2}, p_{3}$。請選出正確的選項。


(1) $p_{1} > p_{2} > p_{3}$

(2) ${p_2} > {p_1} > {p_3}$

(3) ${p_3} > {p_2} > {p_1}$

(4) ${p_3} > {p_1} > {p_2}$

(5) ${p_1} = {p_2} > {p_3}$

解答

按題意有$3$種接法

現在分情況討論。

(甲) 一旦$A$故障，則$B$亦跟著故障（無論$B$原本是否已故障），所以系統故障機率取決於$A$故障的機率，因此$p_{1} = 0.1$。

(乙) 一旦$B$故障，則$A$亦跟著故障（無論$A$原本是否已故障），所以系統故障機率取決於$B$故障的機率，因此$p_{2} = 0.15$。

(丙) 只有在$A, B$同時故障之情況下才會使系統故障。注意$A, B$故障互為獨立事件，因此若記$A \cap B$為$A, B$同時故障之事件，則由條件機率之定義有
$$p_{3} = P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.1 \times 0.15 = 0.015.$$
由以上討論知$p_{2} > p_{1} > p_{3}$，選$(2)$。