宇宙數學教室: 2015

2015年10月13日星期二

103(上)北一女高二第一次期中考，多選題4，選項(5)

「若

$\angle A=\angle D>90^{\circ}, a=d=10, b=e=8$ ，則

$\triangle ABC$ 及

$\triangle DEF$ 全等」

[解] 在

$\angle ABC$ 中設

$\overline{AB}=x$ ，在

$\triangle DEF$ 中設

$\overline{DE}=y$ 。由餘弦定理(長度型)得

$100=x^2+64-16x\cos A$ ，

$100=y^2+64-16y\cos D$ ，
(請留意

$\cos A=\cos D$ )。
於是有

$x^2+64-16x\cos A=y^2+64-16y\cos D$ ，
整理得

$(x^2-y^2)-16\cos A(x-y)=0$ ，

$(x-y)(x+y)-16\cos A(x-y)=0$ ，

$(x-y)(x+y-16\cos A)=0$ 。
注意

$\angle A$ 是鈍角，所以

$\cos A<0$ ，得

$x+y-16\cos A>0$ ，因此

$x-y=0$ ，即有

$x=y$ 。
因為三邊長相等，所以兩三角形全等(SSS)。
故本選項正確。

2015年9月30日星期三

2015年7月14日星期二

日本東北学院大学数學入試‬一題

在李躍進的《基礎數學試題精選》中見到這一題，想要去查出年份與原文，一時網路卻查不到。

2015年7月9日星期四

不等式&塗色問題：99建中數資班入學考選填4‬

==題目==
將一些邊長為1的「單位正方體」拼成一個邊長為n的大正方體(n為正整數)，將大正方體的其中幾個面染成紅色，然後將大正方體拆為原來的單位正方體，發現其中有163塊單位正方體被染成了紅色，求n= ？

[99建中數資班入學考選填4‬]

==解答==
‪

2015年6月10日星期三

排列組合，高鐵站

==題目==

某國高鐵有20站，為提高行車效率，選擇其中8站不停，但第一站和最後一站一定要停，且相鄰兩站不能同時不停。則共有幾種不同的停靠方式？

2015年6月3日星期三

104國中會考數學【選擇題錯誤題數+手寫得分】與【等級】對照圖

2015年3月1日星期日

=題目=

如圖，坐標平面上有

$\displaystyle A \left( \frac{5}{2}, 1 \right), B \left(- \frac{5}{3} , -4 \right)$ 兩點。過

$A, B$ 兩點作直線

$L$ 後，判斷下列哪一點與直線

$L$ 的距離最短？

(A)

$(3, 1)$

(B)

$(1, 2)$

(C)

$\displaystyle \left( 0, \frac{1}{2} \right)$

(D)

$(0, -2)$

=解答=

作圖即可知道答案，選(D)。無須計算直線方程式，計算了只是浪費時間。

2015年2月9日星期一

=題目=

已知：如下圖，正方形

$\alpha$ (邊長為

$a$ )與正方形

$\beta$ (邊長為

$b$ )的面積和為

$1$ 。

求證：剛好包住正方形

$\alpha$ 與正方形

$\beta$ 的矩形面積

$\displaystyle \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ 。

[出處：國立臺灣師範大學數學系許志農教授著《高中數學珍寶》]

=評析=

國立蘭陽女中的陳敏皓老師在HPM 通訊第十七卷第一期的《算幾不等式的證明
(II) 與（III）》介紹了這道題目，並給出了採用算幾不等式的解法，有興趣的人可參考
http://math.ntnu.edu.tw/ horng/letter/hpm1701.pdf。

=解答=

由

$\alpha^2 + \beta^2 = 1$ 聯想三角函數中最重要的等式

$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1.$
由此自然會想設

$a = \cos \theta, b = \sin \theta.$
注意到

$\alpha, \beta$ 都必須是非負實數，所以角度

$\theta$ 必須有所限制，顯然限制範圍是

$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}.$
觀察題目所給圖形可知，包住兩個正方形的最小矩形，其面積為

$a(a + b)$ ，因此有

$\begin{eqnarray*} a(a + b) &=& a^2 + ab \\ &=& \cos^2 \theta + \cos \theta \cdot \sin \theta \\ &=& \frac{1 + \cos 2 \theta}{2} + \frac{1}{2} \sin 2 \theta \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\cos 2\theta + \sin 2\theta) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2\theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\theta \right) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \cos 2\theta + \cos \frac{\pi}{4} \sin 2\theta \right) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} + 2\theta \right) \end{eqnarray*}$
現在分析以上函數式中