紅色球先取完的機率

昔から言うではありませんか。微分のことは微分でせよと

（漢譯：不是早就說過了嗎？有關微分的事用微分來做吧！）

高木貞治(1875-1960) 

=題目=

袋中有15球，6紅5黑4白，今天從中一次拿一顆球，取完不放回，取完為止。試問，紅球最先被拿完的機率為多少？

=答案=

$\frac{14}{55}$

=解析=

由於是依序取球，且取後不放回，並取完為止，所以樣本空間$S$之結構為排列。計算樣本空間$S$中所包含的樣本點個數：

$$n(S) = \frac{15!}{6! 5! 4!} = 630630.$$

接著思考所謂紅球先被取完的意思，在此情況之下，最後一球必為黑球或是白球。

假定最後一顆球為黑球，那麼全部6顆紅球必然會出現在最後一顆白球之前。更具體來說，我們可以假設在第5顆黑球與第4顆白球之間有$x$顆黑球，然後在第4顆白球之前有6顆紅球、3顆白球以及$4 - x$顆黑球，其中$x \in \{ 0, 1, 2, 3, 4 \}$。亦即形如

6顆紅球、3顆白球、$4-x$顆黑球  ｜  第4顆白球  ｜   $x$顆黑球  ｜  第5顆黑球

球的個數確認後，接著來計算排列數，於是這樣一共有

$$\frac{13!}{6!3!4!} + \frac{12!}{6!3!3!} + \frac{11!}{6!3!2!} + \frac{10!}{6!3!1!} + \frac{9!}{6!3!} = 84084.$$

接著再假定最後一顆球為白球，那麼全部6顆紅球必然會出現在最後一顆黑球之前。更具體來說，我們可以假設在第4顆白球與第5顆黑球之間有$y$顆黑球，然後在第5顆黑球之前有6顆紅球、4顆黑球以及$3 - y$顆黑球，其中$y \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$。亦即形如

6顆紅球、4顆黑球、$3-y$顆白球  ｜  第5顆黑球  ｜   $y$顆白球  ｜  第4顆白球

球的個數確認後，接著來計算排列數，於是這樣一共有

$$\frac{13!}{6!4!3!} + \frac{12!}{6!4!2!} + \frac{11!}{6!4!1!} + \frac{10!}{6!4!} = 76440.$$

綜合以上計算結果，可知紅球先取完的機率為

$$P = \frac{84084 + 76440}{630630} = \frac{14}{55}.$$

=附註=

本題是在臉書高中數學討論區見到的。蘭陽女中陳敏晧老師也曾在《HPM通訊》第十七卷第十期撰文〈如何計算紅球先取完的機率？〉討論。臉書網友的討論間或有謬誤，而陳老師的文章又稍嫌抽象。我在這邊給出一個直接的方法來處理，效果如何，尚待讀者先進批評指教。

多項式餘式問題一道

=題目= 

已知多項式$f(x)$除以$x^2 + x + 1$和$x+1$的餘式分別為$2x-3$和1，若$(x+2)f(x)$除以 $(x+1)(x^2+x+1)$的餘式為$ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$為實數，則$a−2b+c$之值为何？

=答案=

$-6$

=解析=

$\begin{align*} f(x)&=(x^2+x+1)q_1 (x)+2x-3 \\ f(x)&=(x+1)q_2(x)+1 \Rightarrow f(-1)=1 \\ 1&=f(-1)=[(-1)^2+(-1)+1]q_1(-1)+2(-1)-3=q_1(-1)-5 \\ q_1(-1)&=6 \end{align*}$

因此$q_1(x)=6+p(x)(x+1)$，其中$p(x)$ 為任意多項式。（這裡使用了Newton插值法的書寫方式）

於是$f(x)=(x^2+x+1)[6+p(x)(x+1)]+2x-3 = 6(x^2+x+1)+(x+1)(x^2+x+1)p(x)+2x-3$。

然後

$\begin{align*} (x+2)f(x)&=(x+2)[6(x^2+x+1)+(x+1)(x^2+x+1)p(x)+2x-3] \\ &=6(x+2)(x^2+x+1)+(x+2)(x+1) (x^2+x+1)p(x) + (x+2)(2x-3) \\ &=6[(x+1)+1](x^2+x+1)+(x+1)(x^2+x+1)(x+2)p(x) +2x^2+x-6 \\ &=6(x+1)(x^2+x+1)+6(x^2+x+1) +(x+1)(x^2+x+1)(x+2)p(x)+2x^2+x-6 \\ &=(x+1)(x^2+x+1)[(x+2)p(x)+6]+8x^2+7x \end{align*}$

$\Rightarrow a=8, b=7, c=0$

所求$a-2b+c=8-14+0=-6$

（解答終了）

=附註=

本題是在臉書高中數學討論區社團看到的，一位彰化女中的學生鄭雅菁提問的。儘管她回覆網友她得到解答了，但她貼出來的解答卻是有問題的，我看了後覺得怪怪的，也不知為何討論串的留言被關閉，所以我就自己算了一遍，私訊發給她，也順道把這題目給我的學生們瞧瞧。