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2022年6月1日 星期三

一道共線問題

==問題== 

已知a>0,b<0,點P(a,b)x2+y2=15上。若相異三點A(a2,a3),B(b2,b3),C(1,1)共線,求ab之值。

==答案==

3

==解答==

        由a>0b<0可知ba

        由A,B,C三點相異得a±1,b±1

        由於A,B,C三點共線,所以ABAC平行,因此有

b3a3b2a2=1a31a2,

使用乘法公式展開,得

(ba)(b2+ba+a2)(ba)(b+a)=(1a)(1+a+a2)(1a)(1+a),

整理得

b2+ba+a2b+a=1+a+a21+a.

交叉相乘得

(1+a)(b2+ba+a2)=(b+a)(1+a+a2).

展開化簡後得

b2+ab2=a+b.

移項為

(ab2a)+(b2b)=0.

然後

a(b1)(b+1)+b(b1)=0,

(b1)[a(b+1)+b]=0,

等號左右同時消去b1

ab+a+b=0.

改寫為

ab=ab.

已知a2+b2=15,所以有

(ab)2=(ab)2,

(ab)2=a2+2ab+b2,

(ab)2=15+2ab,

(ab)22ab15=0.

因式分解得

(ab5)(ab+3)=0.

由於a,b異號,所以ab=3

(解答終了)