==問題==
已知a>0,b<0,點P(a,b)在x2+y2=15上。若相異三點A(a2,a3),B(b2,b3),C(1,1)共線,求ab之值。
==答案==
−3
==解答==
由a>0且b<0可知b≠a。
由A,B,C三點相異得a≠±1,b≠±1。
由於A,B,C三點共線,所以→AB與→AC平行,因此有
b3−a3b2−a2=1−a31−a2,
使用乘法公式展開,得
(b−a)(b2+ba+a2)(b−a)(b+a)=(1−a)(1+a+a2)(1−a)(1+a),
整理得
b2+ba+a2b+a=1+a+a21+a.
交叉相乘得
(1+a)(b2+ba+a2)=(b+a)(1+a+a2).
展開化簡後得
b2+ab2=a+b.
移項為
(ab2−a)+(b2−b)=0.
然後
a(b−1)(b+1)+b(b−1)=0,
(b−1)[a(b+1)+b]=0,
等號左右同時消去b−1得
ab+a+b=0.
改寫為
ab=−a−b.
已知a2+b2=15,所以有
(ab)2=(−a−b)2,
(ab)2=a2+2ab+b2,
(ab)2=15+2ab,
(ab)2−2ab−15=0.
因式分解得
(ab−5)(ab+3)=0.
由於a,b異號,所以ab=−3。
(解答終了)