空間中的平面的參數式

        高中數學裡，空間中的平面的方程式，都是談「點法式」：給定一點$P_0 (x_0, y_0, z_0)$，再給定一法向量$\overrightarrow{n} = (a, b, c)$，於是，存在唯一一張通過點$P_0$、且與$\overrightarrow{n}$垂直的平面，其方程式為

$$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0.$$

此即點法式。

        教完平面方程式後，就會談直線方程式，教學目標有參數式、比例式與兩面式，其中以參數式為最重要的形式。在以往的課綱中，在教平面向量的時候，還會談平面上的直線的參數式。從而在高中數學裡，無論是平面上的直線，還是空間中的直線，都有參數式的表示。

        一個問題是：空間中的平面是否會有參數式？

        提出此問題的動機其實很自然，因為在向量（無論平面還是空間）教學的初始階段，線性組合是向量運算的核心。學生們會學到，如果兩向量平行，那麼它們的線性組合只會產生在同一條直線上的向量；而如果兩向量不平行，那麼它們的線性組合就會產生一張平面！平行與否從幾何角度決定了線性方程組是否有解，所以兩向量的線性組合是非常重要的概念。既然我們一直說不平行的兩向量的線性組合會產生平面，那麼類比直線的參數式，於是平面也應當有所謂的參數式。

        我們現在來談平面的參數式。但我們這裡要特別提請讀者留意，以下的討論過程，會盡量避免使用外積，因為要建構平面方程式，外積的概念並非必要。

        在空間中給定一點$P_0 (x_0, y_0, z_0)$，然後再取兩個不平行的向量$\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, v_3), \overrightarrow{w} = (w_1, w_2, w_3)$，那麼集合

$$E = \left\{ P | P = P_0 + s\overrightarrow{v} + t\overrightarrow{w}, s, t \in \mathbb{R} \right\}$$

就是一張通過點$P_0$的平面，且平面由$\overrightarrow{v}$與$\overrightarrow{w}$所張成。其中

$$P = P_0 + s\overrightarrow{v} + t\overrightarrow{w}, s, t \in \mathbb{R}$$

就稱為平面E的參數式。如果將之寫作分量形式，那麼就是

$$\left\{ \begin{eqnarray*} x &=& x_0 + sv_1 + tw_1 \\ y &=& y_0 + sv_2 + tw_2 \\ z &=& z_0 + sv_3 + tw_3 \end{eqnarray*} \right. , s, t \in \mathbb{R}.$$

        很直觀的，E這個集合確實是一張平面，但是對學生而言它的形式太奇怪，它與平常習慣的點法式大相迥異。以下我們證明，集合E的式子也是具備點法式的形式。

       首先，由於$\overrightarrow{v}$與$\overrightarrow{w}$不平行，所以下面的三個二階行列式

$$\left| \begin{matrix} v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2  \end{matrix} \right|, \left| \begin{matrix} v_2 & w_2 \\ v_3 & w_3  \end{matrix} \right|, \left| \begin{matrix} v_1 & w_1 \\ v_3 & w_3  \end{matrix} \right|$$

必定不全為零。不失一般性，我們可假定$\left| \begin{matrix} v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2  \end{matrix} \right| \ne 0$。現在取平面參數式中的前兩條

$$\left\{ \begin{eqnarray*} x &=& x_0 + sv_1 + tw_1 \\ y &=& y_0 + sv_2 + tw_2 \end{eqnarray*} \right.$$

改寫為

$$\left\{ \begin{eqnarray*} v_1 s + w_1 t &=& x - x_0 \\ v_2 s + w_2 t &=& y - y_0 \end{eqnarray*} \right. .$$

由於假定$\left| \begin{matrix} v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2  \end{matrix} \right| \ne 0$，所以由Cramer法則可解出

$$s = \frac{\left| \begin{matrix} x - x_0 & w_1 \\ y - y_0 & w_2  \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2  \end{matrix} \right|}, t = \frac{\left| \begin{matrix} v_1 & x - x_0 \\ v_2 & y - y_0  \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2  \end{matrix} \right|}.$$

然後將解出的$s, t$代回原來參數式中的第3式，得到

$$z = z_0 + \frac{\left| \begin{matrix} x - x_0 & w_1 \\ y - y_0 & w_2  \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2  \end{matrix} \right|} v_3 + \frac{\left| \begin{matrix} v_1 & x - x_0 \\ v_2 & y - y_0  \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2  \end{matrix} \right|} w_3.$$

展開化簡，可得

$$(v_2 w_3 - v_3 w_2)(x - x_0) + (v_3 w_1 - v_1 w_3)(y - y_0) + (v_1 w_2 - v_2 w_1)(z - z_0) = 0.$$

我們便可取$n_1 = v_2 w_3 - v_3 w_2, n_2 = v_3 w_1 - v_1 w_3, n_3 = v_1 w_2 - v_2 w_1$，於是平面E上的每一點都會滿足方程式

$$n_1 (x - x_0) + n_2 (y - y_0) + n_3 (z - z_0) = 0.$$

而方程式$n_1 (x - x_0) + n_2 (y - y_0) + n_3 (z - z_0) = 0$本來就代表一張平面，所以便有

$$\left\{ P | P = P_0 + s\overrightarrow{v} + t\overrightarrow{w}, s, t \in \mathbb{R} \right\} = \left\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 | n_1 (x - x_0) + n_2 (y - y_0) + n_3 (z - z_0) = 0 \right\}.$$

也就是說，平面E具有點法式$n_1 (x - x_0) + n_2 (y - y_0) + n_3 (z - z_0) = 0$。

        讀者可留意，以上的推導過程中，也順勢地誘導出外積的代數定義。所以如果在教學過程中，採用線性組合的方式來引入平面，於是便可在推導「平面上的點的x, y, z座標之間的關係式」的時候引入外積，我個人認為這是一個極好的動機。

更新歷程

2021/04/15  第1稿。

2021/04/16  改正幾處錯別字，對些微文字修改。

2021/04/23  改正幾處錯別字，感謝金門高中許淵智老師指正。

操場追趕相遇問題

==問題== 

紅鬍子和藍鬍子在two piece國中的操場跑步，兩人同時同地逆時針出發，紅鬍子跑步速度比藍鬍子快，當藍鬍子第一次被紅鬍子從背後追上時，藍鬍子馬上轉身沿順時針方向跑。兩人的跑步速度維持不變，當兩人第二次相遇時，紅鬍子恰好跑了四圈，請問紅鬍子的速度是藍鬍子的幾倍？

==解答==

首先進行以下假定：

• 紅鬍子的速度為，每單位時間內，移動x單位距離；
• 藍鬍子的速度為，每單位時間內，移動y單位距離；
• 操場一圈的長度為d單位。

由題目條件「紅鬍子跑步速度比藍鬍子快」，所以可知$x > y$，從而可知，每單位時間內，紅鬍子會超過藍鬍子$x - y$單位。

兩人第1次相遇時，意味著紅鬍子所移動的距離，剛好比藍鬍子多1圈，也就是d單位。因此可知兩人第1次相遇的時刻為$\frac{d}{x - y}$。

因為我們假定紅鬍子在每單位時間中，會移動x單位距離，所以紅鬍子跑完1圈需時$\frac{d}{x}$單位時間。

根據題目條件「兩人第二次相遇時，紅鬍子恰好跑了四圈」，所以兩人第2次相遇的時刻為$\frac{d}{x} \times 4$。

現在讓我們來思考第1次相遇和第2次相遇之間的這段過程。

在第2次相遇時，題目說「紅鬍子恰好跑了四圈」，這表示兩人第2次相遇的位置是在出發點。

如果我們用指針式時鐘來想像，假設紅、藍鬍子一開始都是從鐘面數字12出發，然後在鐘面數字8的位置第1次相遇，於是因為藍鬍子立即折返，所以藍鬍子接下來的位置依序會是$8 \rightarrow 9 \rightarrow 10 \rightarrow \cdots$，而紅鬍子接下來的位置依序是$8 \rightarrow 7 \rightarrow 6 \rightarrow \cdots$。我們剛剛已經知道兩人第2次相遇的位置是在出發點，也就是鐘面數字12的位置。那麼現在就清楚了，從第1次相遇到第2次相遇為止，兩人的位置分別依序是

藍鬍子：$8 \rightarrow 9 \rightarrow 10 \rightarrow 11 \rightarrow 12$；

紅鬍子： $8 \rightarrow 7 \rightarrow 6 \rightarrow 5 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1 \rightarrow 12$。

仔細觀察就可發現，兩人在這段時間（第1次相遇到第2次相遇）之內，移動距離的總和正好是整圈！

在前面我們已經知道了第1次相遇的時刻為$\frac{d}{x - y}$，第2次相遇的時刻為$\frac{d}{x} \times 4$，所以從第1次相遇到第2次相遇為止，一共經過了$\frac{4d}{x} - \frac{d}{x - y}$單位時間。

代入前面關於速度的假設，可以得到

$$\underbrace{x \cdot \left( \frac{4d}{x} - \frac{d}{x - y} \right)}_{紅鬍子移動距離} + \underbrace{y \cdot \left( \frac{4d}{x} - \frac{d}{x - y} \right)}_{藍鬍子移動距離} = \underbrace{d}_{整圈長度}$$

化簡此式。以分配律展開得

$$4d - \frac{dx}{x - y} + \frac{4dy}{x} - \frac{dy}{x - y} = d,$$

因為距離$d \ne 0$，所以等式兩邊同時約掉d，得

$$4 - \frac{x}{x - y} + \frac{4y}{x} - \frac{y}{x - y} = 1.$$

為了消去分母，等式左右兩邊同時乘以$x(x - y)$，得

$$4x(x - y) - x^2 + 4y(x - y) - xy = x(x - y),$$

再以分配律展開，並進行同類項化簡後，可得

$$x^2 - 2y^2 = 0.$$

即可解出

$$\frac{x}{y} = \sqrt{2}.$$

因此紅鬍子的速度是藍鬍子的$\sqrt{2}$倍。

==出處==