一道關於整數部分、小數部分的題目

==問題==

已知n為正整數，$\sqrt{n}$為無理數，設$\sqrt{n}$的整數部分為a、小數部分為b，若a, b滿足$a^3 - 9ab + b^3 = 0$，試求出n值。

==解答==

    首先，因為b是小數部分，所以必有

$$0 \le b < 1.$$

於是$0 \le b^3 < 1$。代入題目條件的方程式$a^3 - 9ab + b^3 = 0$得到

$$a^3 - 9ab + b^3 \le b^3.$$

化簡得

$$\begin{eqnarray*}  a^3 - 9ab &\le& 0, \\ a(a^2 - 9b) &\le& 0.  \end{eqnarray*}$$

由於a是$\sqrt{n}$的整數部分，從而$a \ge 0$，故$a^2  - 9b \le 0$。那麼就有

$$a^2 \le 9b.$$

因為b是小數部分，必然小於1，所以

$$0 \le a^2 < 9.$$

同時開方可得

$$0 \le a < 3.$$

這意味著a的可能值為：0, 1, 2。

    接著，分別對a的可能值進行討論。

    若$a = 0$，代回題目條件的方程式，得

$$0^3 - 9 \cdot 0 \cdot b + b^3 = 0.$$

解出$b = 0$。於是$\sqrt{n} = a + b = 0 + 0 = 0$，即$n = 0$，不是正整數，不合。

    若$a = 1$，一樣代回題目條件的方程式，得

$$1^3 - 9 \cdot 1 \cdot b + b^3 = 0.$$

這是一個三次方程式，不容易解開，所以我們必須另闢蹊徑，採用估計法！改寫方程式可得

$$b^3 + 1 = 9b.$$

然後再次從$0 \le b < 1$出發，得$1 \le b^3 + 1 < 2$，再進行替換，得

$$\begin{eqnarray*}1 \le 9b < 2, \\ \frac{1}{9} \le b < \frac{2}{9}. \end{eqnarray*}$$

將b用$\sqrt{n} - 1$替換掉，得

$$\frac{1}{9} \le \sqrt{n} - 1 < \frac{2}{9}.$$

解得

$$1 \frac{19}{81} \le n < 1 \frac{41}{81}.$$

然而不存在任何一個正整數n滿足此不等式，所以$a \ne 1$。

    若$a = 2$，仿照上面關於$a = 1$的計算，依序有

$$\begin{eqnarray*}  &2^3 - 9 \cdot 2 \cdot b + b^3 = 0,  \\  &b^3 + 8 = 18b, \\ &8 \le b^3 + 8 < 9,  \\  &8 \le 18b < 9,  \\  &\frac{8}{18} \le b < \frac{9}{18},  \\  &\frac{8}{18} \le \sqrt{n} - 2 < \frac{9}{18}, \\  &\frac{1936}{324} \le n < \frac{2025}{324}.  \end{eqnarray*}$$

其中$\frac{1936}{324} = 5.9\cdots, \frac{2025}{324} = 6.25$，從而解得$n = 6$。

(解答結束)

==另解==

同事吳尚霖先生提供了另外一個比較簡潔的解法，簡要附註如下。

由

$$\sqrt{n} = a + b \Rightarrow b = \sqrt{n} - a.$$

代入題目條件之方程式，得

$$a^3 - 9 \cdot a \cdot (\sqrt{n} - a) + (\sqrt{n} - a)^3 = 0.$$

展開整理後，可得

$$F(a) + G(a) \cdot \sqrt{n} = 0$$

這樣形式的式子。由於a是整數，且$\sqrt{n}$為無理數，所以$F(a) = 0$且$G(a) = 0$，解之即得$n = 6$。

(解答結束)

註記：跟同事交流完彼此的解法之後，同事對我採用估計的手法來做感到不可思議...（他本來也有考慮用估計，但覺得不好做就沒做下去）這樣的差異多少反映出我做數學的風格與偏好...