印度理工學院(IIT)聯合入學考試-主試(JEE Main)，2018，實體試(offline)，卷1(Paper 1)，A套，第77題

==問題==

設$y = y(x)$是微分方程
$$\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = 4x, \quad x \in (0, \pi)$$
的解。若$\displaystyle y \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$，則$\displaystyle y \left( \frac{\pi}{6} \right)=$？

(1) $\displaystyle \frac{4}{9 \sqrt{3}} \pi^2$
(2) $\displaystyle \frac{-8}{9 \sqrt{3}} \pi^2$
(3) $\displaystyle -\frac{8}{9} \pi^2$
(4) $\displaystyle -\frac{4}{9} \pi^2$

==答案==

(3)

==解答==

將題目的微分方程式稍微改寫為
$$\frac{dy}{dx} \sin x + y \cos x = 4x,$$
然後
$$\frac{dy}{dx} \sin x + y \frac{d \sin x}{dx} = 4x.$$
聯想乘積的求導公式
$$\frac{d}{dx} fg = f'g + fg'.$$
得到
$$\frac{d}{dx} (y \sin x) = 4x.$$
左右同時對$x$積分，
$$\int \frac{d}{dx} (y \sin x) \, {\rm d}x = \int 4x \, {\rm d}x.$$
於是
$$y \sin x = 2x^2 + C.$$
這裡$C$為待定常數。

將初始條件$\displaystyle y \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$代入上式，得
$$0 = \frac{\pi^2}{2} + C.$$
解出$C = -\frac{\pi^2}{2}$。所以
$$y(x) = \frac{2x^2 - \frac{\pi^2}{2}}{\sin x}.$$

因此所求
$$y \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{2 \left( \frac{\pi}{6} \right)^2 - \frac{\pi^2}{2}}{1/2} = -\frac{8}{9}\pi^2.$$

(解答結束)

印度理工學院(IIT)聯合入學考試-主試(JEE Main)，2018，實體試(offline)，卷1(Paper 1)，A套，第75題

==問題==

計算積分$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} \,{\rm d}x$。

(1) $\displaystyle \frac{\pi}{8}$
(2) $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
(3) $\displaystyle 4\pi$
(4) $\displaystyle \frac{\pi}{4}$

==答案==

(4)

==解答==

$$\begin{align*} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} \,{\rm d}x &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} \,{\rm d}x + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} \,{\rm d}x \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} \,{\rm d}x + \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\sin^2 (-t)}{1 + 2^{-t}} (-1) \,{\rm d}t \quad [x: -\frac{\pi}{2} \rightarrow 0, t = -x, t: \frac{\pi}{2} \rightarrow 0] \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} \,{\rm d}x + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^{-x}} \,{\rm d}x \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} \,{\rm d}x + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2^x \cdot \sin^2 x}{2^x + 1} \,{\rm d}x \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x (1 + 2^x)}{1 + 2^x} \,{\rm d}x \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \,{\rm d}x \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \,{\rm d}x \\ &= \frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \sin \pi \right) - (0 - 0) \right] \\ &= \frac{\pi}{4}. \end{align*}$$

(解答結束)

107年國中會考，數學詳解

小平邦彥，《數學I》，目錄

前言
凡例
I 數與式子
第1節 實數
1 數軸與實數
2 實數的運算與大小
3 平方根式的計算
問題
第2節 整式
1 整式
2 整式的加法、減法、乘法
3 展開公式
4 因式分解
問題
第3節 整式除法與分式
1 整式的除法
2 整式的最大公約、最小公倍
3 分式及其運算
4 整數與整式、有理數與有理式的相似處
問題
習題A
習題B
II 方程與不等式
第1節 二次方程
1 因式分解法
2 複數
3 根的公式
4 根與係數關係
問題
第2節 方程組與三次以上方程
1 方程組
2 三次以上方程
3 因式定理
問題
第3節 不等式
1 基本性質
2 二次不等式
3 不等式的證明
問題
習題A
習題B
III 平面圖形和方程
第1節 點的座標
1 直線上點的座標
2 平面上點的座標
問題
第2節 直線
1 直線方程
2 二直線的平行條件與垂直條件
3 軌跡方程
問題
第3節 圓
1 圓的方程
2 圓與直線
3 簡單的二次曲線
問題
第4節 不等式的區域
1 不等式的區域
2 聯立不等式的區域
3 不等式區域的應用
問題
習題A
習題B
IV 向量
第1節 向量及其運算
1 向量的意義
2 向量的加法、減法
3 向量的實數倍
4 向量的分量
問題
第2節 向量的應用
1 位置向量
2 直線和向量
3 力、速度和向量
問題
習題A
習題B
V 函數
第1節 簡單的函數
1 二次函數和圖像
2 二次函數的圖像與二次方程、二次不等式
3 函數$\displaystyle y=\frac{ax+b}{cx+d}$的圖像
4 複合函數
問題
第2節 反函數、指數函數、對數函數
1 反函數
2 乘方與方根
3 指數法則與指數函數
4 對數函數
問題
習題A
習題B
VI 三角函數
第1節 三角比
1 正切
2 正弦、餘弦
3 三角比的相互關係
問題
第2節 三角函數
1 一般角
2 弧度法
3 三角函數
4 三角函數的圖像
5 三角函數的性質
問題
第3節 三角函數的應用
1 在三角形上的應用
2 三角形的面積
3 三角函數與正投影
問題
習題A
習題B
VII 概率
第1節 排列與組合
1 加法法則
2 乘法法則與直積
3 排列
4 組合
問題
第2節 概率
1 概率的意義
2 事件與集合
3 概率的基本性質與加法定裡
4 條件概率與乘法原理
5 獨立事件與相依事件
問題
習題A
習題B
VIII 映射、集合、邏輯
第1節 映射
1 映射的意義
2 複合映射
3 到上映射、一一映射
4 逆映射
5 平面上點的移動
問題
第2節 集合、邏輯
1 命題
2 等價命題
3 條件式與集合
4 「所有」與「存在」
5 必要條件和充分條件
6 交集、並集、餘集
問題
第3節 三角函數的應用
1 在三角形上的應用
2 三角形的面積
3 三角函數與正投影
問題
習題A
習題B
附錄
研究 Euclid輾轉相除法
補充問題
解答
數表：平方、平方根、倒數表
常用對數表、三角函數表