2018-01-18：103學測，選填F，平面拼鋪問題

=問題=

一個房間的地面是由12個正方形所組成，如圖。

今想用長方形瓷磚舖滿地面，已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即

或。

則用6塊瓷磚舖滿房間地面的方法有多少種？

[103，學測，選填F]

=解法=

定義

為第I型磁磚；

為第II型磁磚。

觀察所要鋪設的區域，設左下角的兩塊為A和B，如圖所示。

A和B覆蓋的情況有2種可能，如圖所示。

如果是

那麼只要考慮上半部即可。

假定使用了$x$個第I型、$y$個第II型。那麼由橫向的個數可得方程式
$$2x+y=5.$$
討論此方程式的整數解有：$(x, y) = (0, 5), (1, 3), (2, 1)$。

對於$(x, y) = (0, 5)$，此時的拼貼方式有$\frac{5!}{5!}=1$種。如圖所示。

對於$(x, y) = (1, 3)$，此時的拼貼方式有$\frac{4!}{3!}=4$種。如圖所示。

對於$(x, y) = (2, 1)$，此時的拼貼方式有$\frac{3!}{2!}=3$種。如圖所示。

綜合上述，如果A和B係由第I型磁磚所覆蓋，那麼總共有$1+4+3=8$種拼鋪方法。

如果是

那麼左半部必定是如下拼鋪

此時只要討論右半部即可。

假定使用了$x$個第I型、$y$個第II型。那麼由橫向的個數可得方程式
$$2x+y=3.$$
討論此方程式的整數解有：$(x, y) = (0, 3), (1, 1)$。

對於$(x, y) = (0, 3)$，此時的拼貼方式有$\frac{3!}{3!}=1$種。如圖所示。

對於$(x, y) = (1, 1)$，此時的拼貼方式有$2!=2$種。如圖所示。

綜合上述，如果A和B係由第II型磁磚所覆蓋，那麼總共有$1+2=3$種拼鋪方法。

我們必須要留心，以上所列舉出的拼鋪方式，是否有滿足題目所限定的「用6塊瓷磚」。而我們的答案是沒問題的。

所以本題答案為$8+3=11$種。