2017-08-22因式分解問題

==問題==
因式分解$(ax+by)^2+(ay-bx)^2$。

出處：單墫，因式分解技巧(數學奧林匹亞小叢書，初中卷2)，九章出版社，7.4，例9。

==解答==

以下給出兩種方法。

第一種方法是使用複變數分解。之所以採用這樣的切入點是因為我個人對於複數情有獨鍾，什麼事都常常想要拿複數來試試看。

眾所皆知，$p^2 + q^2 = (p+qi)(p-qi)$。

\begin{eqnarray*}
& & (ax+by)^2+(ay-bx)^2 \\
&=& [(ax+by) + (ay-bx)i][(ax+by) - (ay-bx)i] \\
&=& (ax+by+ayi-bxi)(ax+by-ayi+bxi) \\
&=& [x(a-bi) + y(b+ai)] [x(a+bi) + y(b-ai)] \\
&=& x^2(a^2+b^2) + xy(a-bi)(b-ai) +xy(b+ai)(a+bi) + y^2(a^2+b^2) \\
&=& (x^2+y^2)(a^2+b^2) +xy \left[ (a-bi)(b-ai) + (b+ai)(a+bi) \right] \\
&=& (x^2+y^2)(a^2+b^2) + xy ( ab-a^2i -b^2i + abi^2 +ba + b^2i + a^2i + abi^2 ) \\
&=& (x^2+y^2)(a^2+b^2)
\end{eqnarray*}

我想這裏背後應該有什麼幾何意義，不過我現在看不出來。

第二種作法是書本上單墫教授所寫的：

\begin{eqnarray*}
& & (ax+by)^2 (ay-bx)^2 \\
&=& a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2 + a^2y^2 -2abxy +b^2x^2 \\
&=& a^2x^2 + b^2y^2 + a^2y^2 + b^2 x^2 \\
&=& (a^2x^2 + b^2 x^2 ) + (a^2y^2 + b^2y^2 ) \\
&=& a^2 (x^2+y^2) + y^2 (a^2 + b^2) \\
&=& (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)
\end{eqnarray*}

前一種做法或許兜個圈子，看起來沒什麼可取之處。不過我覺得換個方式來思考問題也不錯。