==問題==
因式分解(ax+by)2+(ay−bx)2。
出處:單墫,因式分解技巧(數學奧林匹亞小叢書,初中卷2),九章出版社,7.4,例9。
==解答==
以下給出兩種方法。
第一種方法是使用複變數分解。之所以採用這樣的切入點是因為我個人對於複數情有獨鍾,什麼事都常常想要拿複數來試試看。
眾所皆知,p2+q2=(p+qi)(p−qi)。
(ax+by)2+(ay−bx)2=[(ax+by)+(ay−bx)i][(ax+by)−(ay−bx)i]=(ax+by+ayi−bxi)(ax+by−ayi+bxi)=[x(a−bi)+y(b+ai)][x(a+bi)+y(b−ai)]=x2(a2+b2)+xy(a−bi)(b−ai)+xy(b+ai)(a+bi)+y2(a2+b2)=(x2+y2)(a2+b2)+xy[(a−bi)(b−ai)+(b+ai)(a+bi)]=(x2+y2)(a2+b2)+xy(ab−a2i−b2i+abi2+ba+b2i+a2i+abi2)=(x2+y2)(a2+b2)
我想這裏背後應該有什麼幾何意義,不過我現在看不出來。
第二種作法是書本上單墫教授所寫的:
(ax+by)2(ay−bx)2=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2−2abxy+b2x2=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=(a2x2+b2x2)+(a2y2+b2y2)=a2(x2+y2)+y2(a2+b2)=(a2+b2)(x2+y2)
前一種做法或許兜個圈子,看起來沒什麼可取之處。不過我覺得換個方式來思考問題也不錯。
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