==問題==
因式分解(ax+by)2+(ay−bx)2。
出處：單墫，因式分解技巧(數學奧林匹亞小叢書，初中卷2)，九章出版社，7.4，例9。
==解答==
以下給出兩種方法。
第一種方法是使用複變數分解。之所以採用這樣的切入點是因為我個人對於複數情有獨鍾，什麼事都常常想要拿複數來試試看。
眾所皆知，p2+q2=(p+qi)(p−qi)。
(ax+by)2+(ay−bx)2=[(ax+by)+(ay−bx)i][(ax+by)−(ay−bx)i]=(ax+by+ayi−bxi)(ax+by−ayi+bxi)=[x(a−bi)+y(b+ai)][x(a+bi)+y(b−ai)]=x2(a2+b2)+xy(a−bi)(b−ai)+xy(b+ai)(a+bi)+y2(a2+b2)=(x2+y2)(a2+b2)+xy[(a−bi)(b−ai)+(b+ai)(a+bi)]=(x2+y2)(a2+b2)+xy(ab−a2i−b2i+abi2+ba+b2i+a2i+abi2)=(x2+y2)(a2+b2)
我想這裏背後應該有什麼幾何意義，不過我現在看不出來。
第二種作法是書本上單墫教授所寫的：
(ax+by)2(ay−bx)2=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2−2abxy+b2x2=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=(a2x2+b2x2)+(a2y2+b2y2)=a2(x2+y2)+y2(a2+b2)=(a2+b2)(x2+y2)
前一種做法或許兜個圈子，看起來沒什麼可取之處。不過我覺得換個方式來思考問題也不錯。
2017年8月22日 星期二
2017年8月21日 星期一
2017-08-21多項式問題：求餘式
==問題==
求(x4−x3+x)(x3+x2+x+1)除以x2+x+1的餘式。
==解答==
本題做法很多種。
第一種方法是直接將被除式(x4−x3+x)(x3+x2+x+1)展開化簡，然後直接用長除法求解。
非常地暴力野蠻，計算量極大，在考試時，只在山窮水盡才這樣幹。
第二種方法是使用「除法原理」。由於除式x2+x+1為2次式，所以根據除法原理，可以假設餘式為ax+b，然後商式為q(x)，也就是有
(x4−x3+x)(x3+x2+x+1)÷x2+x+1=q(x)...ax+b.
然後
(x4−x3+x)(x3+x2+x+1)=(x2+x+1)⋅q(x)+(ax+b).
接著，由於x2+x+1=(x−−1+√3i2)(x−−1−√3i2)(此因式分解其實係由直接解出方程式x2+x+1=0所得)，若命ω1=−1+√3i2,ω2=−1−√3i2，將ω1,ω2依序帶入(x4−x3+x)(x3+x2+x+1)=(x2+x+1)⋅q(x)+(ax+b)可得關於a與b的聯立方程組，而後再解出a,b即得所求餘式。
這解法乍看好像頭頭是道，引經據典，很有數學味。但這解法有兩處不好難點，一是關於除式x2+x+1的因式分解並不直觀，係在複系數多項式環C[x]上才能進行，不好算；另一是即使因式分解難不倒你，但最末帶入ω1與ω2時好計算嗎？我想不是那麼輕鬆的。
現在來談談第三種方法：多項式的同餘。
首先留意x3−1=(x−1)(x2+x+1)，所以x3−1是除式x2+x+1的倍式。但如果僅考慮x3，它與x3−1就差在有無減1，所以可以看出x3除以x2+x+1後，餘式為1。
如果用同餘的記號，就有
x^3 \equiv 1 \mod x^2+x+1.
於是乎
\begin{eqnarray*} & & (x^4 -x^3 +x)(x^3 + x^2 +x+1) \\ &=& (x^3 \cdot x -x^3 +x)[x^3+(x^2 +x+1)] \\ & \equiv & (1 \cdot x - 1 + x)[1+(0)] \mod x^2+x+1 \\ & \equiv & 2x-1 \mod x^2+x+1 \end{eqnarray*}
故答案為2x-1。
如果知曉多項式的同餘概念，那麼在處理餘式問題時有時會有更簡潔的解法。
求(x4−x3+x)(x3+x2+x+1)除以x2+x+1的餘式。
==解答==
本題做法很多種。
第一種方法是直接將被除式(x4−x3+x)(x3+x2+x+1)展開化簡，然後直接用長除法求解。
非常地暴力野蠻，計算量極大，在考試時，只在山窮水盡才這樣幹。
第二種方法是使用「除法原理」。由於除式x2+x+1為2次式，所以根據除法原理，可以假設餘式為ax+b，然後商式為q(x)，也就是有
(x4−x3+x)(x3+x2+x+1)÷x2+x+1=q(x)...ax+b.
然後
(x4−x3+x)(x3+x2+x+1)=(x2+x+1)⋅q(x)+(ax+b).
接著，由於x2+x+1=(x−−1+√3i2)(x−−1−√3i2)(此因式分解其實係由直接解出方程式x2+x+1=0所得)，若命ω1=−1+√3i2,ω2=−1−√3i2，將ω1,ω2依序帶入(x4−x3+x)(x3+x2+x+1)=(x2+x+1)⋅q(x)+(ax+b)可得關於a與b的聯立方程組，而後再解出a,b即得所求餘式。
這解法乍看好像頭頭是道，引經據典，很有數學味。但這解法有兩處不好難點，一是關於除式x2+x+1的因式分解並不直觀，係在複系數多項式環C[x]上才能進行，不好算；另一是即使因式分解難不倒你，但最末帶入ω1與ω2時好計算嗎？我想不是那麼輕鬆的。
現在來談談第三種方法：多項式的同餘。
首先留意x3−1=(x−1)(x2+x+1)，所以x3−1是除式x2+x+1的倍式。但如果僅考慮x3，它與x3−1就差在有無減1，所以可以看出x3除以x2+x+1後，餘式為1。
如果用同餘的記號，就有
x^3 \equiv 1 \mod x^2+x+1.
於是乎
\begin{eqnarray*} & & (x^4 -x^3 +x)(x^3 + x^2 +x+1) \\ &=& (x^3 \cdot x -x^3 +x)[x^3+(x^2 +x+1)] \\ & \equiv & (1 \cdot x - 1 + x)[1+(0)] \mod x^2+x+1 \\ & \equiv & 2x-1 \mod x^2+x+1 \end{eqnarray*}
故答案為2x-1。
如果知曉多項式的同餘概念，那麼在處理餘式問題時有時會有更簡潔的解法。
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