==問題==
因式分解$(ax+by)^2+(ay-bx)^2$。
出處：單墫，因式分解技巧(數學奧林匹亞小叢書，初中卷2)，九章出版社，7.4，例9。
==解答==
以下給出兩種方法。
第一種方法是使用複變數分解。之所以採用這樣的切入點是因為我個人對於複數情有獨鍾，什麼事都常常想要拿複數來試試看。
眾所皆知，$p^2 + q^2 = (p+qi)(p-qi)$。
\begin{eqnarray*}
& & (ax+by)^2+(ay-bx)^2 \\
&=& [(ax+by) + (ay-bx)i][(ax+by) - (ay-bx)i] \\
&=& (ax+by+ayi-bxi)(ax+by-ayi+bxi) \\
&=& [x(a-bi) + y(b+ai)] [x(a+bi) + y(b-ai)] \\
&=& x^2(a^2+b^2) + xy(a-bi)(b-ai) +xy(b+ai)(a+bi) + y^2(a^2+b^2) \\
&=& (x^2+y^2)(a^2+b^2) +xy \left[ (a-bi)(b-ai) + (b+ai)(a+bi) \right] \\
&=& (x^2+y^2)(a^2+b^2) + xy ( ab-a^2i -b^2i + abi^2 +ba + b^2i + a^2i + abi^2 ) \\
&=& (x^2+y^2)(a^2+b^2)
\end{eqnarray*}
我想這裏背後應該有什麼幾何意義，不過我現在看不出來。
第二種作法是書本上單墫教授所寫的：
\begin{eqnarray*}
& & (ax+by)^2 (ay-bx)^2 \\
&=& a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2 + a^2y^2 -2abxy +b^2x^2 \\
&=& a^2x^2 + b^2y^2 + a^2y^2 + b^2 x^2 \\
&=& (a^2x^2 + b^2 x^2 ) + (a^2y^2 + b^2y^2 ) \\
&=& a^2 (x^2+y^2) + y^2 (a^2 + b^2) \\
&=& (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)
\end{eqnarray*}
前一種做法或許兜個圈子，看起來沒什麼可取之處。不過我覺得換個方式來思考問題也不錯。
2017年8月22日 星期二
2017年8月21日 星期一
2017-08-21多項式問題：求餘式
==問題==
求$(x^4 -x^3 +x)(x^3 + x^2 +x+1)$除以$x^2 +x+1$的餘式。
==解答==
本題做法很多種。
第一種方法是直接將被除式$(x^4 -x^3 +x)(x^3 + x^2 +x+1)$展開化簡，然後直接用長除法求解。
非常地暴力野蠻，計算量極大，在考試時，只在山窮水盡才這樣幹。
第二種方法是使用「除法原理」。由於除式$x^2 +x+1$為2次式，所以根據除法原理，可以假設餘式為$ax+b$，然後商式為$q(x)$，也就是有
$$
(x^4 -x^3 +x)(x^3 + x^2 +x+1) \div x^2 +x+1 = q(x)...ax+b.
$$
然後
$$
(x^4 -x^3 +x)(x^3 + x^2 +x+1) = (x^2+x+1) \cdot q(x) + (ax+b).
$$
接著，由於$x^2+x+1 = \left( x - \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \right) \left( x - \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} \right)$(此因式分解其實係由直接解出方程式$x^2+x+1=0$所得)，若命$\omega_1 = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}, \omega_2 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$，將$\omega_1, \omega_2$依序帶入$(x^4 -x^3 +x)(x^3 + x^2 +x+1) = (x^2+x+1) \cdot q(x) + (ax+b)$可得關於$a$與$b$的聯立方程組，而後再解出$a, b$即得所求餘式。
這解法乍看好像頭頭是道，引經據典，很有數學味。但這解法有兩處不好難點，一是關於除式$x^2 +x+1$的因式分解並不直觀，係在複系數多項式環$\mathbb{C}[x]$上才能進行，不好算；另一是即使因式分解難不倒你，但最末帶入$\omega_1$與$\omega_2$時好計算嗎？我想不是那麼輕鬆的。
現在來談談第三種方法：多項式的同餘。
首先留意$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$，所以$x^3-1$是除式$x^2+x+1$的倍式。但如果僅考慮$x^3$，它與$x^3-1$就差在有無減1，所以可以看出$x^3$除以$x^2+x+1$後，餘式為1。
如果用同餘的記號，就有
$$
x^3 \equiv 1 \mod x^2+x+1.
$$
於是乎
\begin{eqnarray*}
& & (x^4 -x^3 +x)(x^3 + x^2 +x+1) \\
&=& (x^3 \cdot x -x^3 +x)[x^3+(x^2 +x+1)] \\
& \equiv & (1 \cdot x - 1 + x)[1+(0)] \mod x^2+x+1 \\
& \equiv & 2x-1 \mod x^2+x+1
\end{eqnarray*}
故答案為$2x-1$。
如果知曉多項式的同餘概念，那麼在處理餘式問題時有時會有更簡潔的解法。
求$(x^4 -x^3 +x)(x^3 + x^2 +x+1)$除以$x^2 +x+1$的餘式。
==解答==
本題做法很多種。
第一種方法是直接將被除式$(x^4 -x^3 +x)(x^3 + x^2 +x+1)$展開化簡，然後直接用長除法求解。
非常地暴力野蠻，計算量極大，在考試時，只在山窮水盡才這樣幹。
第二種方法是使用「除法原理」。由於除式$x^2 +x+1$為2次式，所以根據除法原理，可以假設餘式為$ax+b$，然後商式為$q(x)$，也就是有
$$
(x^4 -x^3 +x)(x^3 + x^2 +x+1) \div x^2 +x+1 = q(x)...ax+b.
$$
然後
$$
(x^4 -x^3 +x)(x^3 + x^2 +x+1) = (x^2+x+1) \cdot q(x) + (ax+b).
$$
接著，由於$x^2+x+1 = \left( x - \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \right) \left( x - \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} \right)$(此因式分解其實係由直接解出方程式$x^2+x+1=0$所得)，若命$\omega_1 = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}, \omega_2 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$，將$\omega_1, \omega_2$依序帶入$(x^4 -x^3 +x)(x^3 + x^2 +x+1) = (x^2+x+1) \cdot q(x) + (ax+b)$可得關於$a$與$b$的聯立方程組，而後再解出$a, b$即得所求餘式。
這解法乍看好像頭頭是道，引經據典，很有數學味。但這解法有兩處不好難點，一是關於除式$x^2 +x+1$的因式分解並不直觀，係在複系數多項式環$\mathbb{C}[x]$上才能進行，不好算；另一是即使因式分解難不倒你，但最末帶入$\omega_1$與$\omega_2$時好計算嗎？我想不是那麼輕鬆的。
現在來談談第三種方法：多項式的同餘。
首先留意$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$，所以$x^3-1$是除式$x^2+x+1$的倍式。但如果僅考慮$x^3$，它與$x^3-1$就差在有無減1，所以可以看出$x^3$除以$x^2+x+1$後，餘式為1。
如果用同餘的記號，就有
$$
x^3 \equiv 1 \mod x^2+x+1.
$$
於是乎
\begin{eqnarray*}
& & (x^4 -x^3 +x)(x^3 + x^2 +x+1) \\
&=& (x^3 \cdot x -x^3 +x)[x^3+(x^2 +x+1)] \\
& \equiv & (1 \cdot x - 1 + x)[1+(0)] \mod x^2+x+1 \\
& \equiv & 2x-1 \mod x^2+x+1
\end{eqnarray*}
故答案為$2x-1$。
如果知曉多項式的同餘概念，那麼在處理餘式問題時有時會有更簡潔的解法。
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