偉大的數學家Euler提出了數學中最重要的常數之一：e，在數學的各個分支領域中都有相當重要的應用。e的介紹方式相當的多，最常見的方式為$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$，以銀行複利的方式為楔子。此外尚有數種介紹方式，譬如求解給定初始條件的常微分方程$\left\{ \begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = y \\ y(0) = 1 \end{eqnarray*} \right.$，或是考慮求導不變的「無窮多次多項式」，得到${\rm e}^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + \cdots$，代入$x = 1$後得到${\rm e} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots$。關於這些方法的詳細介紹可以參考MIT的Gilbert Strang教授的網頁Introducing ${\rm e}^x$。108課綱在十一年級的課程中介紹了e，在國教院的課程教學手冊中，以銀行複利為介紹例。
在以上數種介紹方式中，我認為皆不盡理想。首先，如果是以銀行複利為出發點，那麼$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$的極限操作是不合乎現實世界情況，因為不可能有任何一間銀行會時時計息，非常違反直覺認知。另外兩種介紹方式都牽扯到微積分，而且只是因為數學上的趣味而提出這樣的問題，不夠貼近正常人的感受。
偉大的物理學家Feynman在其名著"The Feynman Lectures on Physics"中，介紹了另一種基於計算常用對數近似值的思考方式，從觀察對數表的數值變化情況導出e，我想這是一個非常理想的作法，體現了數值計算的重要性，闡釋了微積分時代前的古人是用怎樣的方式造出對數表。於是$\log 2 \approx 0.301$再也不是題目上附註的冷冰冰的數字。
以下是我的一些心得筆記，揉合了Feynman教授的說法與我的思考。
- 計算平方根的迭代法：Newton-Raphson
- 用算幾不等式求平方根(也是Newton-Raphson)
- 十進位小數化二進位的方法
- 常用對數的近似值計算 ←非常重要的計算技巧
另外也可參考台南一中林倉億老師發表在高中數學學科中心電子報的文章〈怎麼算$\log 2$〉 - 10的微小次方的近似式與Euler常數e ←e正式現身
沒有留言:
張貼留言