[107指考數甲，圓] 圓內兩線段互相垂直，求$\overline{CD}$長度

==問題== 

設$A$，$B$，$C$，$D$為圓上的相異四點。已知圓的半徑為$\frac{7}{2}$，$\overline{AB}=5$，兩線段$\overline{AC}$與$\overline{BD}$互相垂直，如圖所示（此為示意圖，非依實際比例）。則$\overline{CD}$的長度為何？（化成最簡根式）

[107，指考，數學甲]

==答案==

$2\sqrt{6}$

==解析==

設$\overline{AC}$與$\overline{BD}$的交點為$O$。然後再假設$\angle BAC = \theta$，於是$\overparen{BC}$之弧度為$2 \theta$。由於$\angle BDC$所對的弧也是$\overparen{BC}$，因此$\angle BDC = \theta$。

接著座標化，取$\overline{AC}$為$x$軸，$\overrightarrow{AC}$之方向為正向；取$\overline{BD}$為$y$軸，$\overrightarrow{BD}$之方向為正向。於是$O$點座標為$(0, 0)$。

再假設$\overline{CD} = x$，於是$\overline{OC} = x \sin \theta, \overline{OD} = x \cos \theta, \overline{OA} = 5 \cos \theta, \overline{OB} = 5 \sin \theta$，從而可得各點座標$A = (-5 \cos \theta, 0), B = (0, -5 \sin \theta), C = (x \sin \theta, 0), D = (0, x \cos \theta)$。

再設圓心為$K$，注意到$K$點的$x$座標與$\overline{AC}$中點的$x$座標相同，$y$座標與$\overline{BD}$中點的$y$座標相同，因此可得$K$點的座標為$\left( \frac{x \sin \theta - 5 \cos \theta}{2}, \frac{x \cos \theta - 5 \sin \theta}{2} \right)$。

由題目條件「圓的半徑為$\frac{7}{2}$」可知

$$\overline{KC} = \frac{7}{2},$$

$$\sqrt{ \left( \frac{x \sin \theta - 5 \cos \theta}{2} - x \sin \theta \right)^2 + \left( \frac{x \cos \theta - 5 \sin \theta}{2} - 0 \right)^2 } = \frac{7}{2},$$

等號兩邊左右同時平方，展開得

$$\frac{x^2 \sin^2 \theta + 10 x \sin \theta \cos \theta + 25 \cos^2 \theta + x^2 \cos^2 \theta - 10 x \sin \theta \cos \theta + 25 \sin^2 \theta}{4} = \frac{49}{4},$$

於是

$$\frac{(x^2 \sin^2 \theta + x^2 \cos^2 \theta) + (25 \cos^2 \theta + 25 \sin^2 \theta)}{4} = \frac{49}{4},$$

$$\frac{ x^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + 25( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}{4} = \frac{49}{4},$$

$$\frac{ x^2 \cdot 1 + 25 \cdot 1}{4} = \frac{49}{4},$$

$$x^2 + 25 = 49,$$

$$x^2 = 24,$$

$$x = \pm \sqrt{24} = \pm 2 \sqrt{6} \quad {\text{負不合}},$$

$$x = 2 \sqrt{6}.$$

因此所求$\overline{CD} = 2 \sqrt{6}$。

(解答終了)