2017-09-14關於利用Gauss複數求解不定方程式$a^2+b^2=c^2$(求畢氏三元組)I

欲求解不定方程式$a^2+b^2=c^2$。

一條方程式、三個未知數，欠定。

此方程式的解應帶有兩個(整數)參數，設為$x$與$y$。

所以應有$a=f(x, y), b=g(x, y), c = h(x, y)$。

原問題「求解不定方程式$a^2+b^2=c^2$」，現在轉化為「找出所有定義於整數集$\mathbb{Z}$上的二元整數值函數$f, g, h$使得$[f(x, y)]^2 + [g(x, y)]^2 = [h(x, y)]^2$」。

如果要立即找出所有解，一般來說不好處理。我們可以，或是應該，先找出特解。然後再推想所有解。(例如是否具備線性疊加的性質、或乾脆我們的特解根本就是所有解，等等等。這好比我們在解線性方程組或是常微分方程式(ODE)一樣)

考慮Gauss複數$z= x + iy$。

為何要考慮複數$z= x + iy$？

複數有很多良好的性質，所以值得我們去這樣試試看。

這樣應該算是一個動機，是吧！？

所要求解的不定方程式的幾何意義就是距離公式，所以我們很自然地會考慮絕對值。

因$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$，也就是$x^2 +y^2 = |z|^2$，那只會得到$x^2 + y^2 = x^2 +y^2$，或更具體地是$(x)^2 + (y)^2 = \sqrt{x^2 + y^2}^2$，根本不能令$f(x, y) = x, g(x, y) = y, h(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$，因為我們不能保證最末的$h(x, y)$會是整數值！

一定要記得，我們要求出的$f(x, y), g(x, y), h(x, y)$都必須是整數值，因為要有$a = f(x, y), b= g(x, y), c = h(x, y)$。

原本題目中出現了平方和，所以我們應該去朝平方和的方向去思考。

如果考慮$x^2+y^2$如何？

$x^2 + y^2 = x^2 - (-1)y^2 = x^2 - i^2 \cdot y^2 = x^2 - (iy)^2 = (x+iy)(x-iy) = z \cdot \bar{z}$。

這沒有用。

換個方式，
$$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 &=& \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)^2 \\ &=& |z|^2 \\ &=& |z| \cdot |z| \\ &=& |z \cdot z| \\ &=& |z^2|. \end{eqnarray*}$$
複數$z^2$的絕對值是$x^2 + y^2$！

一般來說，複數$z^2$應為$p+qi$的形式，然後我們當然可以很肯定$p$與$q$都會是整數(因為$z^2 = z \cdot z = (x+iy) \cdot (x+iy)$，兩個整係數一次式乘在一起，算出來的結果當然一定也會是整係數)，但是我們平常無法十分肯定$z^2$的絕對值是否為整數，也就是說，我們通常不能確定$|z^2| = \sqrt{p^2+q^2}$是整數。

但是，上面的計算告訴我們，$|z^2| = x^2 + y^2$，是整數平方和，那當然就是整數。

方才我們想要令$h(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2} = |z|$，失敗了，因為不能確定$\sqrt{x^2 + y^2}$是否為整數。

如今應該可以改令$h(x, y) = x^2 + y^2 = |z^2|$是嗎？

讓我們把事情弄得更清楚一些。
$$z^2 = (x+ iy)^2 = x^2 + 2xiy + (iy)^2 = (x^2 - y^2) + 2xyi,$$
於是
$$|z^2| = \sqrt{\left(x^2 - y^2 \right)^2 + (2xy)^2},$$

也就有
$$\sqrt{\left(x^2 - y^2 \right)^2 + (2xy)^2} = |z^2|,$$
代入$|z^2| = x^2 + y^2$，並左右平方，得
$$\left(x^2 - y^2 \right)^2 + (2xy)^2 = \left( x^2 + y^2 \right)^2.$$
我們得到一組整數值二元函數的平方和，且和也是某個整數值二元函數的平方！

所以我們可以令$a = f(x, y) = x^2 - y^2, b = g(x, y) = 2xy, c = h(x, y) = x^2 + y^2$。

換句話說
$$\left \{ \begin{array}{ll} a = x^2 - y^2, & \\ b = 2xy, & x, y \in \mathbb{Z} \\ c = x^2 +y^2. & \end{array} \right.$$
是不定方程式$a^2+b^2=c^2$的「一類」整數解。

我們這樣求出來的，僅僅是一類特殊的整數解，還不能確定這樣的解是不是就代表全部的整數解，因為還有可能有其他形式的整數解。

我們所做的，只是「湊出」三個整數值二元函數符合方程式的條件。

「$(f, g, h)$是解」和「所有解都形如$(f, g, h)$」是兩回事。

我們現在不能下結論說「不定方程式$a^2+b^2=c^2$的整數解就是$a = x^2 - y^2, b = 2xy, c= x^2+y^2$」。

這好比「女人是人」與「人都是女人」這兩句敘述是不等價的。

那麼，該如何求解出所有整數解呢？

我們留待下一篇文章再來談。

參考文獻

[1] 單墫，趣味數論，九章出版社(2002年8月)，第六章第7節。