高中微積分（2021）

艾薩克·牛頓爵士（Sir Isaac Newton，1643年1月4日－1727年3月31日）

教材：高級中學課本-微積分初步（甲種本），人民教育出版社，1985年9月第1版（下載鏈結）

地點：鵬展文理補習班，教室2

時間：星期三，18:30~22:00

參考書籍與文獻：

微積分的歷程，[美]鄧納姆，人民郵電出版社
（Dunham, William (2008). The Calculus Gallery (1st ed.). Princeton University Press.）
微積分的發展歷史，愛德華，凡異出版社
（Jr. C. H. Edwards (1979). The Historical Development of the Calculus. Springer-Verlag.）
微積分的歷史步道(二版)，蔡聰明，三民書局
蔡聰明。Leibniz 如何想出微積分？數學傳播, 18(3), 1-14, 1992。
林開亮。微積分之前奏（或變奏）：高階等差數列的求和。數學傳播, 41(1), 61-79, 2017。

教學內容

9/8（三）

☞進度：第一章極限、1.1 數列的極限、1.2 數列極限的四則運算。
☞問題解答：1.1 練習（第7頁）、1.2 練習（第13頁）、習題一。
☞教學影片：https://youtu.be/HlEIQ3c1FP4

9/15（三）

☞進度：數列極限的補充題、等比數列的收斂性證明（$\displaystyle \lvert q \rvert < 1 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} q^n = 0$）、極限四則運算的錯誤使用舉例、調和級數發散性的證明（$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots \rightarrow +\infty$）、中學數學中的各種函數的圖形（多項式函數、指數/對數函數、三角/反三角函數（arcsin）、絕對值函數、平方根函數、反比例函數）。
☞問題解答：本次課程無練習。
☞教學影片：https://youtu.be/qy9Je6ufx2g

9/20（一）

☞進度：中學數學中的各種函數的圖形（續：分式1次變換$y = \frac{ax+b}{cx+d}$、分式函數$y = \frac{f(x)}{g(x)}$（挖洞的直線和拋物線））、補充特別的函數的圖形（Gauss記號$y = [x]$、$\sin \left( \frac{1}{x} \right)$家族：$y = \sin \left( \frac{1}{x} \right), y = x \cdot \sin \left( \frac{1}{x} \right), y = x^2 \cdot \sin \left( \frac{1}{x} \right)$）、平方根收斂數列（$\displaystyle x_0 = x^*, x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{A}{x_n} \right) \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \sqrt{A}$）理論推導與實驗。
☞問題解答：本次課程無練習。
☞教學影片：https://youtu.be/vTQ7IVbCXMY

9/22（三）

☞進度：平方根數列的圖示、$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a} = 1$的實驗與使用夾擠定理的證明、1.3 函數的極限、1.4 函數極限的四則運匴、有斷點的函數圖形再討論。
☞問題解答：1.3 練習、1.4 練習、習題二。
☞教學影片：https://youtu.be/vD3MSCJjntA

9/29（三）

☞進度：1.5 函數的連續性、合成函數的概念、合成順序不可交換的例子（$\log \left( \sin x \right) \ne \sin \left( \log x \right)$）、合成函數圖形繪製的例子（$y = \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$）、計算函數極限的例題、切線概念的引入。
☞問題解答：1.5 練習（pp.32-33）、1.5 練習（pp.37-38）。
☞教學影片：https://youtu.be/uFBysO0dyL8
☞補充講義：Newton 廣義二項式定理

10/6（三）

☞進度：1.6 兩個重要的極限（$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$）、複習弳度量（弳度量、弧長公式、扇形面積公式）、複習直角三角形投影關係、小考+罵人、1.6 兩個重要的極限（續：$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$）、e的歷史介紹、Bernoulli的複利問題、$\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$的有界性、e的幾何意義。
☞問題解答：本次課程無練習。
☞教學影片：https://youtu.be/dI2v2nFCIwo
☞小考題目：檔案。
☞補充講義：自然常數e，自然指數，自然對數。

10/20（三）

☞進度：自然常數e、自然指數、自然對數、一般指數函數與對數函數的微分公式。
☞問題解答：TBA。
☞教學影片：TBA

☞小考題目：檔案。

10/27（三）

牛頓切線法的圖解

☞進度：為何要研究切線斜率？可導與可微。
☞問題解答：TBA。
☞教學影片：TBA

X/Y（Z）
☞進度：TBA。
☞問題解答：TBA。
☞教學影片：TBA

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