107指考數甲的平面向量決定區域的函數最大值問題

=問題= 

座標平面上，若$A(2, 3)$與$B(-1, 3)$兩點，並設$O$為原點，令$E$為滿足$\overrightarrow{OP} = a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}$的所有點$P$所形成的區域，其中$-1 \le a \le 1, 0 \le b \le 4$。考慮函數$f(x) = x^2+5$，試問當限定x為區域$E$中的點$P(x, y)$的橫座標時，$f(x)$的最大值為何？

=解答=

首先將$P$的x座標用$a, b$表示出來：

$$\overrightarrow{OP} = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right],$$

$$\overrightarrow{OP} = a\overrightarrow{OA} +b\overrightarrow{OB} = a\left[ \begin{array}{c} 2  \\ 3 \end{array} \right] + b\left[ \begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2a-b \\ 3a+3b \end{array} \right],$$

得

$$x = 2a-b.$$

由$a, b$的限制條件有

$$-2 \le 2a \le 2,$$

與

$$-4 \le -b \le 0.$$

於是

$$-6 \le 2a - b \le 2,$$

即

$$-6 \le x \le 2.$$

所以有

$$0 \le x^2 \le 36.$$

因此

$$5 \le x^2 + 5 \le 41.$$

得最大值為41。

=附註=

本題我本來打算把圖畫出來，但發現容易畫錯，因為4倍的$\overrightarrow{OB}$的數字太大，圖不容易畫。後來決定換個方式，直接考慮代數的方式來處理。而我便叫育嫆別用畫圖的方式做。