105指考數甲的平面向量內積問題

=問題= 

假設三角形ABC的三邊長分別為$\overline{AB}=5, \overline{BC}=8, \overline{AC}=6$。請選出和$\overrightarrow{AB}$內積為最大的選項。（單選）

(A) $\overrightarrow{AC}$

(B) $\overrightarrow{CA}$

(C) $\overrightarrow{BC}$

(D) $\overrightarrow{CB}$

(E) $\overrightarrow{AB}$

=解答=

首先畫出三角形ABC。

由圖看來，$\angle A$應是鈍角，為確定此論斷，我們計算$\cos A$，由餘弦定理得

$$\cos A = \frac{5^2 + 6^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{-1}{20} < 0.$$

所以確定了$\angle A$是鈍角。

既然$\angle A$是鈍角，那麼剩下的兩個角$\angle B, \angle C$必為銳角。再由大邊對大角可知$\angle B > \angle C$。

現在觀察各選項所決定的夾角。

(A) $\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角為$\angle A$，鈍角。

(B) $\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{CA}$的夾角為$180^{\circ} - \angle A$，銳角。

(C) $\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BC}$的夾角為$180^{\circ} - \angle B$，鈍角。

(D) $\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{CB}$的夾角為$\angle B$，銳角。

(E) $\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AB}$的夾角為$0^{\circ}$。

若兩向量夾角為鈍角，則內積必為負數。所以不用考慮(A)與(C)。

現在來計算(B)、(D)、(E)。

(B)： $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = 5 \cdot 6 \cdot \cos (180^\circ - A) = 30 \cdot (- \cos A) = 30 \cdot \frac{1}{20} = \frac{3}{2}$。

(D)：$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} = 5 \cdot 8 \cdot \cos B = 40 \cdot \frac{5^2 + 8^2 - 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = 40 \cdot \frac{53}{80} = \frac{53}{2}$。

(E)：$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = 5^2 = 25$。

所以$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB}$最大，故選(D)。