107學測的向量線性組合問題

=問題= 

設$D$為$\triangle ABC$中$\overline{BC}$邊上的一點，已知$\angle ABC = 75^{\circ}, \angle ACB = 45^{\circ}, \angle ADB = 60^{\circ}$，若$\overrightarrow{AD} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$，則$s, t$各為多少？

=解答=

首先畫出$\triangle ABC$。

然後再畫出$D$，圖形如下：

觀察$\triangle ABC$與$\triangle ADB$，其中各別的角度都相等，所以$\triangle ABC \sim \triangle DBA$。

命$\overline{AB} = c, \overline{AC} = b, \overline{CD} = a_1, \overline{DB} = a_2, \overline{AD} = d$，且$a_1 + a_2 = a$。

於是由三角形相似得

$$a: b: c = c: d: a_2.$$

擷取

$$a: c = c: a_2,$$

得$a_2 = \frac{c^2}{a}$。而$a_1 = a - a_2 = a - \frac{c^2}{a} = \frac{a^2 - c^2}{a}$。

根據正弦定理可得

$$a: b: c = \sin A : \sin B : \sin C = \sin 60^\circ : \sin 75^\circ : \sin 45^\circ = 2\sqrt{3} : (\sqrt{6} - \sqrt{2}) : 2\sqrt{2}.$$

所以可設$a = 2\sqrt{3}t, c = 2\sqrt{2}t$，其中$t > 0$。

於是$a_1 : a_2 = \frac{a^2 - c^2}{a} : \frac{c^2}{a} =  (12 - 8): 8 = 1: 2$。

最後由向量的分點公式可得

$$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{1 + 2}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{1 + 2}\overrightarrow{AC}.$$

得$s = \frac{1}{3}, t = \frac{2}{3}$。