2019年8月24日 星期六

配方、Lagrange恆等式與Cauchy不等式

==主旨==

利用配方證明Lagrange恆等式,然後導出Cauchy不等式。

==題目==

  1. 直接展開後,合併並配方,證明Lagrange恆等式:
    $$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 = (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2.$$
  2. 證明n變數的Lagrange恆等式並找出書寫規律:
    \begin{eqnarray*}&&(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2) (b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \\ &=& (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2 + (a_1 b_3 - a_3 b_1)^2 + \cdots + (a_n b_{n-1} - a_{n - 1} b_n)^2.\end{eqnarray*}
  3. 證明Cauchy不等式:
    $$\sqrt{a_1^2 + \cdots + a_n^2} \sqrt{b_1^2 + \cdots + b_n^2} \ge |a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n.|$$
  4. 求出Cauchy不等式等號成立的充要條件:
    (i) 若Cauchy不等式等號成立,則?
    (ii) 在怎樣的條件下,Cauchy不等式等號會成立?
  5. 設$p, q$皆為實數,取$a_1 = p, a_2 = q, b_1 = q, b_2 = p$,使用Cauchy不等式推導出2元算幾不等式:
    $$\frac{\text{非負實數}s + \text{非負實數}t}{2} \ge \sqrt{\text{非負實數}s \times \text{非負實數}t}.$$
    並求出算幾不等式等號成立的充要條件。

2019年8月20日 星期二

無限循環小數的總和

==主旨==

  1. 觀察各位值數字的排列,得出所有排列數字的總和。
  2. 引導學生推出「無限循環小數化為分數的公式」

==題目==

  1. a, b分別代表不同的數字,請問由a, b所構成之各位相異的二位數有多少種?
  2. a, b, c分別代表不同的數字,請問由a, b, c所構成之各位相異的三位數有多少種?
  3. a, b, c, d, e分別代表不同的數字,請問由a, b, c, d, e所構成之各位相異的五位數有多少種?
  4. 小學學過的定位板告訴我們每個整數的十進表示是由哪些數所構成:
    $$a_n a_{n - 1} \cdots a_2 a_1 = a_n \times 10^{n - 1} + a_{n - 1} \times 10^{n - 2} + \cdots + a_2 \times 10^1 + a_1 \times 10^0.$$
    請將五位數$abcde$表示為以上的形式。
  5. 在上一小題中,
    (i) 有多少個五位數含有$a \times 10^4$?
    (ii) 有多少個五位數含有$a \times 10^3$?
    (iii) 有多少個五位數含有$a \times 10^2$?
    (iv) 有多少個五位數含有$a \times 10^1$?
    (v) 有多少個五位數含有$a \times 10^0$?
  6. ab分別代表不同的數字,請問無限循環小數
    $$0.ababab\cdots$$
    化為分數後為何?請以數字及a, b表示。
  7. a, b, c分別代表不同的數字,請問無限循環小數
    $$0.abcabcabc\cdots$$
    化為分數後為何?請以數字及a, b, c表示。
  8. a, b cde分別代表不同的數字,請問無限循環小數
    $$0.abcdeabcdeabcde\cdots$$
    化為分數後為何?請以數字及ab cde表示。
  9. 數字全用,但不重複,由1, 3, 5, 7, 9這五個數字所構成的純循環小數(形如$0.\overline{13579}, 0.\overline{53971}$等),共有多少個?總和是多少?
    [提示:欲計算總和,請先化為分數後再計算比較容易。]

2019年8月19日 星期一

充分條件與必要條件,不等式的解集合,1990中國高考數學全國卷

==主旨==

這份習題的目標是藉由圖解不等式來認識「充分條件」與「必要條件」的定義。

==導引==

定義 考慮兩敘述A, B,若可由敘述A推導出敘述B,也就是$A \Rightarrow B$,則
(i) 稱敘述A為敘述B的充分條件(sufficient condition)。
(ii) 稱敘述B為敘述A的必要條件(necessary condition)。

例子 敘述A:「碧曲是正妹。」;敘述B:「碧曲是人類。」

如果敘述A正確,也就是我們已經知道碧曲確實是正妹,那麼碧曲一定是人類,亦即敘述B是正確的。因此我們可以從敘述A推導出敘述B

套用以上對於「充分條件」與「必要條件」的定義,我們會說:
(i) 「碧曲是人類」為「碧曲是正妹」的必要條件;
(ii) 「碧曲是正妹」為「碧曲是人類」的充分條件;

注意 但是如果把兩個敘述的位置對調反過來,那麼推理的鍊條未必串的起來。這就是說,就算敘述B是正確的,我們知道「碧曲是人類」,可是我們卻無法由此推論出「碧曲是正妹」,不能確定敘述A正確與否。

定義 考慮兩敘述AB,若可由敘述A推導出敘述B,同時也可由敘述B推導出敘述A,亦即有$A \Leftrightarrow B$,那麼兩條件互稱為彼此的充要條件(sufficient and necessary condition)。

復向東,見一商港,然商販皆金髮碧眼,料是海外來朝之英吉利商販集散所在,舶來異寶眾多,正目眩神迷間,琴聲價響,佇聽之,或如山壑雅秀,或如水潭靜謐,時悠遠輕揚,復而厚實凝重,令人神馳,急尋琴聲來處,見一英吉利女子正自奏藝販琴,當下文思泉湧,兼有結識之意,於是突出人群,吟詩唱和:「商娥扶碧曲,秀謐悠而厚...」詩未竟,曲驟斷,但見英女神色驚訝,連聲曰諾,正暗喜間,卻見數名英商巡官怒目而來倒拖吾身,飽以老拳。嗟乎,奈何蠻夷終究不識詩詞曲賦之美...。

==題目,第1組,中國1990高考數學全國卷文史類組==


  1. 圖解不等式:$0 < x < 5$。
  2. 解不等式:$| x - 2| < 3$,並圖解之。
  3. 若將第1題的圖形稱為甲,將第2題的圖形稱為乙,請問甲乙兩者的包含關係為何?是甲包含乙,還是乙包含甲,還是沒有包含關係?
    請注意這裡所謂的「包含在...之中」是指完全包含。若只有一部份重疊就不算包含了。
  4. 如果某點在圖形甲之中,那麼該點一定會在圖形乙之中嗎?如果不會,那麼是哪些點不聽話呢?
  5. 如果某點在圖形乙之中,那麼該點一定會在圖形甲之中嗎?如果不會,那麼是哪些點不聽話呢?
  6. [原題] 設命題甲為:$0 < x < 5$;命題乙為:$| x - 2| < 3$。那麼
    (A) 甲是乙的充分條件,但不是乙的必要條件。
    (B) 甲是乙的必要條件,但不是乙的充分條件。
    (C) 甲是乙的充要條件。
    (D) 甲不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件。


==題目,第2組,中國1990高考數學全國卷理工農醫類組==


  1. 取定正數h,在座標平面上畫出不等式$| x - y| < 2h$的解區域。
  2. 同樣的正數h,在座標平面上畫出聯立不等式$\left\{ \begin{array}{l} | x - 1| < h \\ | y - 1| < h \end{array} \right.$的解區域。(請注意聯立不等式意味著兩條式子的條件要同時滿足!)
  3. 若將第1題的圖形稱為甲,將第2題的圖形稱為乙,請問甲乙兩者的包含關係為何?是甲包含乙,還是乙包含甲,還是沒有包含關係?
    請注意這裡所謂的「包含在...之中」是指完全包含。若只有一部份重疊就不算包含了。
  4. 如果某點在圖形甲之中,那麼該點一定會在圖形乙之中嗎?如果不會,那麼是哪些點不聽話呢?
  5. 如果某點在圖形乙之中,那麼該點一定會在圖形甲之中嗎?如果不會,那麼是哪些點不聽話呢?
  6. [原題] 已知$h > 0$。設命題甲為:兩個實數x, y滿足$| x - y| < 2h$;命題乙為:兩個實數xy滿足$| x - 1| < h$且$| y - 1| < h$。那麼
    (A) 甲是乙的充分條件,但不是乙的必要條件。
    (B) 甲是乙的必要條件,但不是乙的充分條件。
    (C) 甲是乙的充要條件。
    (D) 甲不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件。


2019年8月17日 星期六

1 The positive integer

==自然數/正整數==

正整數(Positive integer):1, 2, 3, ...。也稱為自然數(Natural number)。

==基本運算:加法、乘法==

$\forall a, b \in \mathbb{N}$,可計算它們的和(sum) $a + b$與積(product) $ab$。

加法封閉性:正整數$+$正整數$=$正整數。

乘法封閉性:正整數$\times$正整數$=$正整數。

==運算律==

交換律(commutative law):

加法:$a + b = b + a$。

乘法:$ab = ba$。

結合律(associative law)

加法:$a + (b + c) = (a + b) + c$。

乘法:$a(bc) = (ab)c$。

分配律(distribution law)

$a(b + c) = ab + ac$。

==例子==

證明:$7(3 \cdot 6) = 6 (3 \cdot 7)$。

[解].
\begin{eqnarray*}
7(3 \cdot 6) &=& (7 \cdot 3) 6 \quad [\text{乘法結合律}] \\
&=& 6 (7 \cdot 3) \quad [\text{乘法交換律}] \\
&=& 6 (3 \cdot 7) \quad [\text{乘法交換律}]
\end{eqnarray*}
(解答結束)

證明:$a(b + c) = ca + ab$。

[解].
\begin{eqnarray*}
a(b + c) &=& ab + ac \quad [\text{分配律}] \\
&=& ac + ab \quad [\text{加法交換律}] \\
&=& ca + ab \quad [\text{乘法交換律}]
\end{eqnarray*}
(解答結束)

==不具備一般運算律的例子==

定義$a \oplus b = 2a, a \odot b = 2ab$。

$a \oplus b = 2a$,而$b \oplus a = 2b$,所以$a \oplus b \ne b \oplus a$,不滿足加法交換律。

$a \odot b = 2ab$,而$b \odot a = 2ba = 2ab$,有$a \odot b = b \odot a$,滿足乘法交換律。

$a \oplus (b \oplus c) = a \oplus 2b = 2a$,而$(a \oplus b) \oplus c = 2a \oplus c = 2(2a) = 4a$,所以$a \oplus (b \oplus c) \ne (a \oplus b) \oplus c$,不滿足加法結合律。

$a \odot (b \odot c) = a \odot 2bc = 2a(2bc) = 4abc$,而$(a \odot b) \odot c = 2ab \odot c = 2(2ab)c = 4abc$,有$a \odot (b \odot c) = (a \odot b) \odot c$,滿足乘法結合律。

$a \odot (b \oplus c) = a \odot 2b = 2a(2b) = 4ab$,而$a \odot b \oplus a \odot c = 2ab \oplus 2ac = 2(2ab) = 4ab$,有$a \odot (b \oplus c) = a \odot b \oplus a \odot c$,滿足分配律。

2019年8月16日 星期五

棋盤上的矩形個數

==問題==

如圖所示,有多少個矩形?

 ==解答==

本題使用排容原理。

先將不完整的棋盤裡的線補完,同時對垂直線以及水平線編號,如下圖所示。


在不考慮中間是否挖空的情況下,由$r_1, \cdots, c_6$與$c_1, \cdots, c_7$等線所決定的矩形個數為${6 \choose 2} \times {7 \choose 2} = 315$個。

現在回過頭來考慮挖空的影響。

在以上315個矩形中,只要邊界之一由$r_4$或$c_3$構成者,一概都不可計入。所以
\begin{eqnarray*}
n(\text{不可計入矩形}) &=& n(\text{邊界之一由}r_4\text{或}c_3\text{構成者}) \\
&=& n(\text{邊界之一由}r_4\text{構成者}) + n(\text{邊界之一由}c_3\text{構成者}) - n(\text{邊界之二由}r_4\text{及}c_3\text{構成者}) \\
&=& {5 \choose 1} \times \left[ {7 \choose 2} - {2 \choose 2} - {4 \choose 2} \right] + {6 \choose 1} \times \left[ {6 \choose 2} - {3 \choose 2} - {2 \choose 2} \right] - {5 \choose 1} \times {6 \choose 1} \\
&=& 70 + 66 - 30 \\
&=& 106\text{個}.
\end{eqnarray*}
因此所求矩形數$= 315 - 106 = 209$個。

2019年8月13日 星期二

兩數的最大值及最小值的表示法

==主旨==


在本份習題中,我們將來探討如何用數學符號來表示任意兩數的最大值以及最小值,然後利用幾何概念和絕對值符號具體寫出最大值及最小值的表示式。

==題目==


  1. 對於任意兩實數a, b,我們總能比較出它們之間的大小關係。更進一步有所謂的三一律:「兩實數ab的大小關係只有可能是$a>b, a=b, a<b$三種可能中的其中一種。」當$a<b$或$a=b$時,我們用$a \le b$來表示;當$a>b$或$a=b$時,我們用$a \ge b$來表示。現在,對於任意兩實數p, q,當$p \ge q$時,我們定義p, q的最大值為$\max (p, q) = p$,最小值為$\min (p, q) = q$。請根據此定義,計算:
    (i) $\max (1, 3), \min (1, 3)$;
    (ii) $\max \left(\sqrt{2}, \frac{7}{2} \right), \min \left(\sqrt{2}, \frac{7}{2} \right)$;
    (iii) $\max (-1, 2), \min (-1, 2)$;
    (iv) $\max (\pi, \sqrt{\pi}), \min (\pi, \sqrt{\pi})$;
    (v) $\max \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right), \min \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right)$。
  2. 在數線上,點A的座標為a,點B的座標為b。命A, B之間的中點為M,試用a, b表示出點M的座標。
  3. 在數線上,點A的座標為a,點B的座標為b。以下哪些選項代表點A與點B之間的距離?
    (A) $a - b$。
    (B) $b - a$。
    (C) $|a - b|$。
    (D) $|b - a|$。
    (E) $\max (a, b) - \min (a, b)$。
  4. 在數線上,點A的座標為a,點B的座標為b。請問式子$\frac{|a - b|}{2}$的幾何意義為何?
  5. 用幾何意義證明:
    $$\max (a, b) = \frac{a + b + |a - b|}{2}.$$
    [提示:(i) 你得考慮所有情況,不只是$a<b$的情況;(ii) 分數的加法運算:$\frac{p + q}{r} = \frac{p}{r} + \frac{q}{r}$。]
  6. 根據上題關於$\max (a, b)$的表示式,請寫出$\min (a, b)$的表示式,然後用幾何意義論述你的式子正確性。


2019年8月10日 星期六

我以前高中補數學的筆記

這篇文章簡單談談同學們來補習,上課該如何寫筆記、回家要怎麼寫作業。

我知道同學們最不愛與同儕比較,很討厭爸媽拿「隔壁鄰居的兒子/女兒」或是「四叔的姪子」等同齡人來打擊自己。

我也不喜歡。與其褒揚某某學生,拿來當筆記範本,然後引起同學間的仇視等不愉快,不如就拿我自己當例子。

高二下,社團(數學研究社)的指導老師傅瑞琪老師告訴我:「如果想要上台大,參考書上每一題都要寫完;如果想上清交,那不用這麼辛苦,但至少參考書上的題目要寫完八成。」到了高三,我想學快一點來複習,所以去了蘇永年老師那兒補習。一方面是為了把進度拉快一些,另一方面覺得蘇老師很有趣,像個丑角,讓我可以在課業壓力沉重的高三生活中笑一笑。另外我認為他的教學方式或許對我以後當老師教學有幫助。(對,我從國中就立志讀師大數學,想回去母校三民國中教書。後來走歪了,讀了清大而教補習班。)

蘇永年老師的講義,就是這麼花俏,走浮誇風。我來台北工作後,曾經把這講義給同事看,同事的評價是:「這老師的審美觀很奇怪,應該找個人幫他設計正常一點。」
雖然上課動機不單純,不過上課最重要的就是要學到東西,所以我還是很認真的做筆記,然後按傅老師告訴我的,用「全力」寫完講義上的題目。蘇老師的講義,題目不多,而且版面留得很充分(這點影響了我現在編輯講義的風格),寫起來沒有太大的壓力。寫作業前,我總是可以坦然面對,不會在內心憤恨「他媽的這麼多誰寫的完」。

這是講義的目錄。請注意上頭每個小節前我自己做了兩個框框,那個是後頭作業的分類,每寫完一部份,我就會心滿意足地翻到目錄打勾

蘇老師的講義基本上都打好大框架了,只有一些空格與圖形要跟著上課填。老師上課時,繪圖還算認真,所以我也盡力仿效老師,把圖畫好來,將筆記抄齊來。

這是上課帶例題的部分。我的字雖然不好看,但是盡力寫工整。老師黑板上的東西幾乎全抄,譬如解題分步驟的符號$1^{\circ}$、$2^{\circ}$…就是從蘇老師那學來的。特別重要的技巧就是打個星號。要背的公式或是結論就用螢光筆標記。

我不敢說我上課有多認真,譬如我曾經跟同學魏皓宇在底下玩BB槍,當時想突然把槍舉起來開火,看老師會怎樣,但是怕老師發飆,這麼中二屁孩的行為就算了。不過這件事沒這麼簡單落幕,魏皓宇很白痴地想嘗試BB槍子彈的威力,就在上課時抵著自己的大腿打了一發,扳機扣下去後,他痛的哭爹喊娘,但是卻又不敢在課堂上叫出來,只能硬著頭皮憋著。

雖然上課會做這些白痴事,但是我敢保證課堂上80%的時間我都是全神貫注的。另外,我也從來沒在課上睡過覺。

離題了,我們再繼續看看寫作業的情況。

這一頁作業僥倖地全對了。請注意右上角,我把解答的頁數寫在那兒,因為我每次寫完作業就想立刻對答案,看自己對多少,然後不會的題目要怎樣算。

由於補習的進度比學校快,我也確信補習上課都有聽懂,所以我在學校的數學課常常沒聽,就是在下面自己寫補習班的作業。除了上課偷寫之外,晚修也會寫一下。每次補習上課完,大概兩天內我就會開始動工,一次差不多寫兩面,然後就去讀其他科。

再看一頁我訂正的情況。

資優第3題我只會做三分之一,實在不會做了,我想了十分鐘左右吧,我就會去看解答訂正,然後把解答完整地寫過來。

訂正作業時,偶爾會出現老師給錯答案的情況,每每抓到老師的錯,我都會覺得很愉快。這是一個激發我認真算數學的動力之一。我倒不記得有沒有拿講義去問問題,當時高三的數學不覺得太困難,就算題目作錯或不會寫,看看解答我也能搞定。

總結一下:
  1. 拿到講義,應該去瞭解講義的結構,目錄、重點、例題、習題、解答,這樣才知道如何使用。
  2. 講義硬體結構不足之處,要自己去改造,靈活變通。
  3. 上課要盡可能認真,在課堂上就要聽懂原理,回家才有時間練習,而不是停留在搞懂的層次。上課要100%認真很難,但至少也要來個80%。
  4. 作業不要拖太久才寫,否則上課的東西都忘光光。最好一兩天內就開始寫。每次不用寫太多,認真寫個10題一小時(含檢討),其實就很充實了。
  5. 作業要認真檢討,用紅筆批改,正視自己的錯誤。仔細閱讀解答,然後把解答抄過來。如果自己搞不定,一定要去請教老師(我不喜歡問同學,一來感覺自己像個智障,二來老師總是比較強,當然要向強者學習!)。

感謝蘇老師當年的指導,雖然沒什麼直接接觸,但是他清晰的教學與還算完整的講義,省去了我在數學上頭疼的時間,從而讓我有餘力去對付可怕的物理。

我希望我的學生們在看完這篇文章後,不是記著我當年上課的蠢事,也不是以獵奇的心態看我當年的筆記,而是要跟我學學如何讀書,好歹也要學到那個樣式。