2021年1月16日 星期六

107指考數甲的平面向量決定區域的函數最大值問題

=問題= 

座標平面上,若$A(2, 3)$與$B(-1, 3)$兩點,並設$O$為原點,令$E$為滿足$\overrightarrow{OP} = a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}$的所有點$P$所形成的區域,其中$-1 \le a \le 1, 0 \le b \le 4$。考慮函數$f(x) = x^2+5$,試問當限定x為區域$E$中的點$P(x, y)$的橫座標時,$f(x)$的最大值為何?

=解答=

首先將$P$的x座標用$a, b$表示出來:

$$\overrightarrow{OP} = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right],$$

$$\overrightarrow{OP} = a\overrightarrow{OA} +b\overrightarrow{OB} = a\left[ \begin{array}{c} 2  \\ 3 \end{array} \right] + b\left[ \begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2a-b \\ 3a+3b \end{array} \right],$$

$$x = 2a-b.$$

由$a, b$的限制條件有

$$-2 \le 2a \le 2,$$

$$-4 \le -b \le 0.$$

於是

$$-6 \le 2a - b \le 2,$$

$$-6 \le x \le 2.$$

所以有

$$0 \le x^2 \le 36.$$

因此

$$5 \le x^2 + 5 \le 41.$$

得最大值為41。

=附註=

本題我本來打算把圖畫出來,但發現容易畫錯,因為4倍的$\overrightarrow{OB}$的數字太大,圖不容易畫。後來決定換個方式,直接考慮代數的方式來處理。而我便叫育嫆別用畫圖的方式做。

108指考數乙的平面向量與行列式計算面積問題

=問題= 

考慮座標平面上相異五點$O, A, B, C, D$。已知向量$\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OD} = 3\overrightarrow{OB}$,且向量$\overrightarrow{AB}$的座標表示為$\overrightarrow{AB} = \left[ \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right]$。試回答下列問題:

(1) 試以座標表示$\overrightarrow{DC}$。

(2) 若$\overrightarrow{OA} = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right]$,試利用二階行列式與面積的關係,求$\triangle OCD$的面積。

=解答=

(1) 利用向量分解,得

$$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DO} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD} = 3\overrightarrow{OA} - 3\overrightarrow{OB} = 3(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = 3(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}) = 3\overrightarrow{BA} = -3\overrightarrow{AB} = \left[ \begin{array}{c} -9 \\ 12 \end{array} \right].$$

(2) 先求出$\overrightarrow{OB}$,

$$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right].$$

於是

$$\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OA} = 3\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array} \right],$$

$$\overrightarrow{OD} = 3\overrightarrow{OB} = 3 \left[ \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right] =  \left[ \begin{array}{c} 12 \\ -6 \end{array} \right].$$

因此

$$\triangle OCD = \frac{1}{2} \left| \det (\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OD}) \right| = \frac{1}{2} |\left| \begin{array}{cc} 3 & 12 \\ 6 & -6 \end{array} \right|| = 45.$$

108學測的平面向量夾角問題

=問題= 

如圖,$A, B, C, D$為平面上的四個點。已知$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}$兩向量等長且互相垂直,則$\tan \angle BAD$為何?

=解答=

設$\overline{AC}$與$\overline{BD}$的交點為$O$,再設$\overline{AC}$與$\overline{BD}$的長度皆為$h$,而$\overline{OA} = a, \overline{OB} = b$。

將此圖形放置於平面坐標上,使$O$為原點,$\overline{AC}$與x軸重合。於是各點的座標分別為$A=(-a, 0), C=(h-a, 0), B=(0, -b), D=(0, h-b)$。所以得

$$\overrightarrow{BC} = \left[ \begin{array}{c} h-a \\ b \end{array} \right], \overrightarrow{AB} = \left[ \begin{array}{c} a \\ -b \end{array} \right], \overrightarrow{AD} = \left[ \begin{array}{c} a \\ h-b \end{array} \right].$$

由$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$得

$$ \left[ \begin{array}{c} h-a \\ b \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} a \\ -b \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} a \\ h-b \end{array} \right],$$

於是有$a = \frac{1}{3}h, b = \frac{1}{3}h$。所以

$$\overrightarrow{AB} = \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{3}h \\ \frac{-1}{3}h \end{array} \right], \overrightarrow{AD} = \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{3}h \\ \frac{2}{3}h \end{array} \right].$$

$$\cos \angle (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = \frac{1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2}{\sqrt{1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{1^2 +2^2}} = \frac{-1}{\sqrt{10}}.$$

從而$\sin \angle BAD = +\sqrt{1 - \left( \frac{-1}{\sqrt{10}} \right)^2} = \frac{3}{\sqrt{10}}$,且

$$\tan \angle BAD = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{-1}{\sqrt{10}}} = -3.$$

=附註=

題目既然給了兩向量互相垂直,直接設座標應該是最快的想法,剩下的只要計算細心即可。也有別位老師給出其他作法,如

但這實在是太麻煩,沒必要搞那麼複雜。

108指考數甲的平面向量問題

=問題= 

座標平面上以原點O為圓心的單位圓上三相異點$A, B, C$滿足$2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} + 4\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$,其中A點的座標為$(1, 0)$。試選出正確的選項。(多選)

(A) 向量$2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}$的長度為4。

(B) 向量內積$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} < 0$。

(C) $\angle BOC, \angle AOC, \angle AOB$中,以$\angle BOC$的度數為最小。

(D) $\overline{AB} > \frac{3}{2}$。

(E) $3 \sin \angle AOB = 4 \sin \angle AOC$。

=解答=

(A) $|2 \overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}| = |-4\overrightarrow{OC}| = |-4| \cdot |\overrightarrow{OC}| = 4 \cdot 1 = 4$,正確。

(B) 由(A)有$|2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OC}| = 4$,於是根據長度與內積的關係得

$$\sqrt{(2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB})\cdot (2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB})} = 4,$$

整理得

$$4|\overrightarrow{OA}|^2 + 12 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + 9|\overrightarrow{OB}|^2 = 16,$$

注意$|\overrightarrow{OA}| = 1$且$|\overrightarrow{OB}| = 1$,所以$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \frac{1}{4} > 0$,所以(B)錯誤。

(C) 仿(B)之作法,由$|2\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OC}| = 3$得$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = \frac{-11}{16}$;由$|3\overrightarrow{OB} + 4\overrightarrow{OC}| = 2$得$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \frac{-7}{8}$。

由於$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$都是單位向量,故內積的計算結果即為其夾角之餘弦值:

$$\cos \angle AOB = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \frac{1}{4},$$

$$\cos \angle BOC = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \frac{-7}{8},$$

$$\cos \angle COA = \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} = \frac{-11}{16}.$$

因此可知$\angle AOB < \angle COA < \angle BOC$。所以(C)錯誤。

(D) 因為

$$\begin{eqnarray*} \overline{AB} &=& |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}| = \sqrt{(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})} = \sqrt{|\overrightarrow{OB}|^2 - 2 \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OA} + |\overrightarrow{OA}|^2} \\ &=& \sqrt{1 - 2\cdot \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{3}{2}}, \end{eqnarray*}$$

所以(D)錯誤。

(E) 由於

$$\sin \angle AOB = +\sqrt{1 - \cos^2 \angle AOB} = \sqrt{1 - \left( \frac{1}{4} \right)^2} = \frac{\sqrt{15}}{4},$$

$$\sin \angle AOC = +\sqrt{1 - \cos^2 \angle AOC} = \sqrt{1 - \left( \frac{-11}{16} \right)^2} = \frac{3\sqrt{15}}{16}.$$

$$3 \sin \angle AOB = 3 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4} = 4 \cdot \frac{3\sqrt{15}}{16} = 4 \sin \angle AOC.$$

故(E)正確。

2021年1月15日 星期五

圓方程式與平面向量的一個問題

 =問題=

學校教官來到圓形公園進行大地尋寶課程,教官發給同學一份圓形公園的平面地圖,地圖上給了三個提示:

第一,將此圓形公園的方程式設為$C: (x+2)^2+(y-4)^2=25$且寶物就藏在地圖中的$P$點;

第二,請移動至地圖上的大樹$A$點處拿取第二個提示;

第三,請移動至地圖上的雕像$B$點拿取第三個提示。

欣茹至$A, B$兩處拿到的分別為$\overrightarrow{AP} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -10 \end{array} \right], \overrightarrow{BP} = \left[ \begin{array}{c} 10 \\ -4 \end{array} \right]$。已知$A, B$兩點均在圓周上,請問寶藏地點$P$的座標為何?

=解答=

圓$C$的圓心為$C=(-2, 4)$,半徑為5。

計算$\overrightarrow{AB}$如下:

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{BP} =  \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -10 \end{array} \right] -  \left[ \begin{array}{c} 10 \\ -4 \end{array} \right] =  \left[ \begin{array}{c} -8 \\ -6 \end{array} \right],$$

於是可知$|\overrightarrow{AB}| = 10$,故可斷定$A, B$為直徑兩端點。再由圓參數式可假設

$$A = (-2 + 5 \cos \theta, 4 + 5 \sin \theta), B = (-2 - 5 \cos \theta, 4 - 5 \sin \theta).$$

再假設$P$點座標為$(p_1, p_2)$,於是代回題目所給$\overrightarrow{AP}$與$\overrightarrow{BP}$可得

$$\overrightarrow{AP} = \left[ \begin{array}{c} p_1 - (-2 + 5 \cos \theta) \\ p_2 - (4 + 5 \sin \theta) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -10 \end{array} \right],$$

$$\overrightarrow{BP} = \left[ \begin{array}{c} p_1 - (-2 - 5 \cos \theta) \\ p_2 - (4 - 5 \sin \theta) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 10 \\ -4 \end{array} \right].$$

重新整理,可得兩組二元一次方程式:

$$\left\{ \begin{array}{l} p_1 + 2 - 5 \cos \theta = 2 \\ p_1 + 2 + 5 \cos \theta = 10 \end{array} \right. \quad 與 \quad \left\{ \begin{array}{l} p_2 - 4 - 5 \sin \theta = -10 \\ p_2 - 4 + 5 \sin \theta = -4 \end{array} \right. .$$

便可解出$p_1 = 4, p_2 = -3$,即$P$之座標為$(4, -3)$。

=附註=

育嫆說:

所以看來我給的解法不是那麼友善...但我也沒想出其他作法,傷腦筋喔!

106指考數甲的平面向量夾角與長度問題

 =問題=

設$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{v}$為兩非零向量,夾角為$120^\circ$。若$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$垂直,試選出正確的選項。(多選)

(A) $\overrightarrow{u}$的長度是$\overrightarrow{v}$的長度的2倍。

(B) $\overrightarrow{v}$與$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$的夾角為$30^\circ$。

(C) $\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$的夾角為銳角。

(D) $\overrightarrow{v}$與$\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$的夾角為銳角。

(E) $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$的長度大於$\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$的長度。

=解答=

首先,向量相加,可用平行四邊形法畫出,而由題目條件夾角$120^\circ$,以及$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$垂直,可得下圖:

於是$|\overrightarrow{u}|, |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}|, |\overrightarrow{v}|$構成一個$30^\circ-60^\circ-90^\circ$三角形的三邊長,且

$$|\overrightarrow{u}|: |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}|: |\overrightarrow{v}| = 1: \sqrt{3}: 2.$$

(A) 錯誤。應更正為:「$\overrightarrow{u}$的長度是$\overrightarrow{v}$的長度的$\frac{1}{2}$倍」。

(B) 正確。

(C) 先計算$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{v}$的內積:

$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos 120^\circ = |\overrightarrow{u}| \cdot 2|\overrightarrow{u}| \cdot \frac{-1}{2} = -|\overrightarrow{u}|^2,$$

於是

$$\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = |\overrightarrow{u}|^2 - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}|^2 - (-|\overrightarrow{u}|^2) = 2|\overrightarrow{u}|^2 > 0.$$

內積大於零,意味著兩向量夾角為銳角。所以(C)正確。

(D) 因為

$$\overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} - |\overrightarrow{v}|^2 = -|\overrightarrow{u}|^2 - (2|\overrightarrow{u}|)^2 = -5|\overrightarrow{u}|^2 < 0.$$

內積小於零,意味著兩向量夾角為鈍角。所以(D)錯誤。

(E) 分別計算長度:

$$|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = \sqrt{(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 + 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + |\overrightarrow{v}|^2} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 - 2|\overrightarrow{u}|^2 + 4|\overrightarrow{u}|^2} = \sqrt{3}|\overrightarrow{u}|.$$

$$|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}| = \sqrt{(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 - 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + |\overrightarrow{v}|^2} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 + 2|\overrightarrow{u}|^2 + 4|\overrightarrow{u}|^2} = \sqrt{7}|\overrightarrow{u}|.$$

所以$|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}| > |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}|$。故(E)錯誤。

2021年1月14日 星期四

107學測的向量線性組合問題

=問題= 

設$D$為$\triangle ABC$中$\overline{BC}$邊上的一點,已知$\angle ABC = 75^{\circ}, \angle ACB = 45^{\circ}, \angle ADB = 60^{\circ}$,若$\overrightarrow{AD} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$,則$s, t$各為多少?

=解答=

首先畫出$\triangle ABC$。

然後再畫出$D$,圖形如下:


觀察$\triangle ABC$與$\triangle ADB$,其中各別的角度都相等,所以$\triangle ABC \sim \triangle DBA$。

命$\overline{AB} = c, \overline{AC} = b, \overline{CD} = a_1, \overline{DB} = a_2, \overline{AD} = d$,且$a_1 + a_2 = a$。

於是由三角形相似得

$$a: b: c = c: d: a_2.$$

擷取

$$a: c = c: a_2,$$

得$a_2 = \frac{c^2}{a}$。而$a_1 = a - a_2 = a - \frac{c^2}{a} = \frac{a^2 - c^2}{a}$。

根據正弦定理可得

$$a: b: c = \sin A : \sin B : \sin C = \sin 60^\circ : \sin 75^\circ : \sin 45^\circ = 2\sqrt{3} : (\sqrt{6} - \sqrt{2}) : 2\sqrt{2}.$$

所以可設$a = 2\sqrt{3}t, c = 2\sqrt{2}t$,其中$t > 0$。

於是$a_1 : a_2 = \frac{a^2 - c^2}{a} : \frac{c^2}{a} =  (12 - 8): 8 = 1: 2$。

最後由向量的分點公式可得

$$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{1 + 2}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{1 + 2}\overrightarrow{AC}.$$

得$s = \frac{1}{3}, t = \frac{2}{3}$。