2019年12月28日 星期六

[師生間的禮貌] 確認時間

偶爾我會與學生另外約時間進行一些【教學】活動,不限於我所執教的數學,可能像是程式設計、軟體操作、或是其他科目等。通常這樣的活動都是在兩方合意的情況下約定時間進行地,因為我不愛強迫人,也不願意多做沒有收穫的勞動。

在這樣的情境下,活動參與者之間的關係就是師生關係,所以應該要以師生關係的禮節應對。

基本上來說,因為成長背景的因素,我對於守時極度敏感,也就是我的紅線。我會盡一切努力做到守時(開始的時刻),所以我不太允許遲到,或是臨時取消約定。

下面是某個學生跟我詢問今天寫程式的時間的對談過程。


這個對話有兩個問題。

第一,因為是此活動是師生關係,所以即便不稱呼我「老師」,也不應該是以「欸欸,伯欣」為起頭。而是要使用更正經的語氣來開頭,不宜用「欸」這樣的指稱詞,顯得不夠尊重。

第二,這個活動是早已明言商定講好的,兩造的行事曆都有記錄此活動,如無意外,不應該詢問我時間,而是要去看自己的行事曆。我不是你的秘書,沒有責任記錄你的行程。

對於講定的事情,即便在心中不甚重視,忘了時間也該是先自己去找出紀錄,而非直接詢問共事者。無理的直接詢問,給人一種「你根本就不重視我們的約定」的感覺。

倘若真的忘了時間,正確的流程應該是:

  1. 查詢自己的行事曆。
  2. 如果行事曆上沒有記到,不得不向另一方開口詢問,那說詞應該像是「嗨,伯欣,今天下午的程式練習,我想跟你確認一下時間,因為我好像不小心把行事曆的時間刪掉了/記錯了,啊呀,真是不好意思。紅字的部分是一種白色謊言,並非有意的欺騙,目的是模糊提問原因,同時也不會讓對方直接感受到「你根本就不重視我們的約定」。然後在結尾必須加上類似道歉的詞語做圓場。
    白色謊言如何使用是個藝術,好比像是做菜時的味精,你會說,對方也會猜。用的太多,只會讓人覺得虛假。
  3. 對方回應後,必須道謝,絕對不要用貼圖或是按個讚就打發掉,那樣子顯得相當輕浮。

人與人的關係,一部分建立於尊重與信任之上。沒有尊重就沒有後續可言。

[師生間的禮貌] 序言

人與人之間在不同的情境下扮演不同的角色。譬如在課堂上,我與台下的某A是師生關係,這是以時間與場域作為規範的結果。下了課,某A與我可能一起玩遊戲,這時我們的關係是朋友關係,這是依行為類型所確認的。

不同的關係狀態下,彼此間的應對有所不同。譬如師生的關係,就不能插科打諢,目標是完成教學內容,老師要確定學生學會,學生要努力向老師學習。此時,彼此對應對方的態度,應該是嚴謹的。為何從前的課堂在鐘響開始上課之際,學生都要起立向老師行禮?理由就是上述的內容。

下了課,如果師生一起玩遊戲,此時就不再是師生關係狀態,而該是朋友關係。顯然彼此間的角色更具平等。如果在玩遊戲的途中,還要顧慮對老師的禮貌,或是要考量是否足夠關懷學生,那都是相當怪異的。

因此,不同的關係狀態下,有著不同的應對方式,運行著不同的禮節。

近年來,我觀察到很多學生無法辨認情境狀態,拿捏不好分際,所以不知道該以何種應對方式去行動。簡單來說,就是不懂得看場合,以對朋友的口氣方式向老師抱怨學習困難等等事項。出於對學生的關愛與呵護,一般來說我不會特意計較。然而似乎這樣的反應是姑息,或是說流於隨意,學生再怎樣也不會突然自己學會正確的禮貌,逐漸地就會發生彼此無法忍受對方態度的問題,學生覺得老師機掰,老師覺得學生白目。

我是個老派的人,如果要當我的學生,我希望我的學生要有禮貌。一個老師如果只會講授專業學科的內容,那網路上的教學影片都可取而代之。所以我準備寫一系列的文章來講述我所認為的師生間恰當的禮貌。

2019年10月22日 星期二

費曼如何心算28的平方(的近似值)

費曼在其著作"Surely You're Joking, Mr. Feynman!: Adventures of a Curious Character"(中譯本:別鬧了,費曼先生: 科學頑童的故事)中談過他如何計算(心算)28的平方:
從此以後,我也試著這樣做。我背熟了幾個數字的對數值,也開始注意很多事情。比方有人說:「28的平方是多少?」那麼注意2的平方根是1.4,而28是1.4的20倍,因此28的平方一定接近400的兩倍,即800上下。
讓我們用數學式把這段過程表達得更清楚:
\begin{eqnarray*} && \sqrt{2} \approx 1.414 \\ &\Rightarrow& 28 = 20 \times 1.4 \approx \color{red}{\bf 20 \times \sqrt{2}} \\ &\Rightarrow& 28^2 \approx (\color{red}{\bf 20 \times \sqrt{2}})^2 = 20^2 \times \sqrt{2}^2 = 400 \times 2 = 800. \end{eqnarray*} 換句話說,整個心算過程的秘訣在於用$20 \sqrt{2}$去代替28,其中的20平方與$\sqrt{2}$平方都相當容易計算。

我們按按計算機,看看費曼先生的答案與實際值差多少:
\begin{eqnarray*}  \text{費曼}&:& 28^2 \approx 800 \\ \text{計算機}&:& 28^2 = 784. \end{eqnarray*} 雖不中,亦不遠矣!

兩個習題供讀者思考:
  1. 為何費曼的近似值比真確值大?
  2. 用費曼的方法計算$45^2$。(提示:試試$\sqrt{5} \approx 2.236$。這個估計會得出盈近似值還是虧近似值?)

2019年10月15日 星期二

只用中點公式、不用分點公式,推導重心座標公式

眾所皆知,在座標平面上給定相異兩點$A = (x_1, y_1), B = (x_2, y_2)$,設$\overline{AB}$之中點為M,則容易知道中點M的座標為$\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$,此稱為「中點公式」。若以更簡單的方式書寫,可記為
$$M = \frac{A + B}{2}.$$ 口訣為「兩點相加除以二」。

一般地,同樣給定相異兩點$A = (x_1, y_1), B = (x_2, y_2)$,再設$\overline{AB}$上有一點P滿足$\overline{AP}: \overline{PB} = m: n$,於是我們可以求出P點的座標為
$$P = \left( \frac{nx_1 + mx_2}{m + n}, \frac{ny_1 + my_2}{m + n} \right).$$ 此稱為「分點公式」。記憶的方式很多,最簡單的方法之一是與物理的力矩概念相結合

然而我們(數學老師)終究得承認,分點公式對於大部分的高中生來說,其實真的很難記,特別是比例常數交叉,在多數人頭腦裡,根本無法想像。在某些特殊情況,學生光是能記熟中點公式(相加除以二),我們可能就會阿彌陀佛、額手稱慶。

(阿彌陀佛姊支援!)

現在進入正題。

給定座標平面上不共線三點$A = (x_1, y_1), B = (x_2, y_2), C = (x_3, y_3)$,命$\triangle ABC$的重心為G,則G的座標為
$$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right).$$ 若以更簡單的方式書寫,可記為
$$G = \frac{A + B + C}{3}.$$ 口訣為「三點相加除以三」。

證明不難,不過幾乎所有教學都用了分點公式。譬如我的朋友許淵智老師的影片。


一個問題可不可以不要用分點公式?

我在昨天教廖阿嫆的時候,突然想出了一個方法,這裡野人獻曝,請大家參考批評。

取$\overline{BC}$的中點D,於是由中點公式有$D = \frac{B + C}{2}$。

由國中幾何知識有$\overline{AG}: \overline{GD} = 2: 1$。我們取$\overline{AG}$的中點H,一樣由中點公式有$H = \frac{A + G}{2}$。

注意到此時重心G會是$\overline{HD}$的中點,所以由中點公式有$G = \frac{H + D}{2}$。

將前面推導的式子$D = \frac{B + C}{2}$與$H = \frac{A + G}{2}$代入方才推出的式子$G = \frac{H + D}{2}$,我們得到
\begin{eqnarray*}  && G =  \frac{\frac{A + G}{2} + \frac{B+ C}{2}}{2} \\ &\Rightarrow& 2G = \frac{A + G + B + C}{2} \\ &\Rightarrow& 4G = A + G + B + C \\ &\Rightarrow& 3G = A + B + C \\ &\Rightarrow& G = \frac{A + B + C}{3}. \end{eqnarray*}
(證明終了)

雕蟲小技,不足掛齒,我想我應該不是第一個想到的。但Google搜尋「重心座標公式推導」的結果的前幾頁都沒看到這樣的作法,所以應該還是值得寫一篇短文與大家分享。