1. For conciseness, the matrix written down at full length will in general be of the order 3, but it is to be understood that the definitions, reasonings, and conclusions apply to matrices of any degree whatever. And when two or more matrices are spoken of in connexion with each other, it is always implied (unless the contrary is expressed) that the matrices are of the same order.
1. 為簡明起見，所有完整寫出的矩陣均以3階為限。但請注意，所有定義、論證以及結論，完全適用於任意階數的矩陣。另外，在論及相關聯的兩個或更多矩陣之際，我們總是假定這些矩陣的大小是相同的(除非特別聲明例外)。
2016年11月17日 星期四
[翻譯]Arthur Cayley，矩陣理論紀要(A Memoir on the Theory of Matrices)，part: 6
One of the application of the theorem is the finding of the general expression of the matrices which are convertible with a given matrix. The theory of rectangular matrices appears much less important than that of square matrices, and I have not entered into it further than by showing some of the notions applicable to these may be extended to rectangle matrices.
本定理的一項應用是對於任予的一個矩陣導出一條表示式，式中各項均由可逆矩陣所構成。長方形矩陣之理論相較於方陣來說重要性較低，而我也亦未深入探討，例如確認哪些原來適用於方陣的理論可推展至長方形矩陣。
本定理的一項應用是對於任予的一個矩陣導出一條表示式，式中各項均由可逆矩陣所構成。長方形矩陣之理論相較於方陣來說重要性較低，而我也亦未深入探討，例如確認哪些原來適用於方陣的理論可推展至長方形矩陣。
[翻譯]Arthur Cayley，矩陣理論紀要(A Memoir on the Theory of Matrices)，part: 5
The theorem shows that every rational and integral function (or indeed every rational function) of a matrix may be considered as a rational and integral function, the degree of which is at most equal to that of the matrix, less unity; it even shows that in a sense, the same is true with respect to any algebraical function whatever of a matrix.
此定理告訴我們，對於任一矩陣(方陣)所滿足的有理函數或是整函數(實際上是所有的有理函數)，我們可將之考慮為次數至多為原矩陣階數減一的有理函數或是整函數。在某種程度來說，此定理可應用於任意一個與原來所考慮之矩陣相關聯的代數函數。
=====譯者註記開始=====
本句相當長，其中句尾"less unity"初譯時未能明白意義，於是貼文至ptt英文學習版（《Eng-Class》）請教。網友wohtp提供了相當多幫助，非常感謝。
於此附上在ptt之詢問文全文。
-----ptt請教文開始-----
作者 pentiumevo (數學系最不靈光的人) 看板 Eng-Class
標題 [求譯] 數學論文中的一句話(已解決)
時間 Sat Nov 12 01:11:19 2016
───────────────────────────────────────
請教各位板友一句話：
The theorem shows that every rational and integral function (or indeed every
rational function) of a matrix may be considered as a rational and integral
function, the degree of which is at most equal to that of the matrix, less
unity.
其中的專有名詞：
theorem = 定理
rational and integral function = 有理函數與整函數
matrix = 矩陣
degree = 次數
unity （這個不確定，不知道該翻成「單位矩陣」還是數值1）
我試著解讀，是否可以翻譯成
「此定理指出，任一矩陣的有理函數或是整函數（實際上適用於任何有理函數）
都可看做是一個次數至多為原矩陣大小的有理函數或整函數...」
其中最後逗點之後的less unity不知道是什麼意思。
可以解讀為「減一」嗎？
那這樣翻譯的話，是不是就該重新改寫為
「...次數至多為原矩陣尺寸減1的有理函數或整函數...」
還是說我以上的理解完全錯誤呢？
懇請板友指點，謝謝。
--
線性代數一 98 線性代數二93 代數一 95 代數二 97
離散數學 96 基礎數論 98 數學導論(集合論) 100
微積分一 30 45 59 (重修三次) 微積分二 45 52 61 (重修三次)
高等微積分一 54 62 (重修兩次) 高等微積分二 48 52 60 (重修三次)
複變函數論 21 61 (重修兩次) 微分方程 38 61 (重修兩次)
幾何一 25 幾何二 旁聽 應用數學 努力中
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 180.176.134.70
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Eng-Class/M.1478884285.A.022.html
推 softseaweed: unity是數字1的fancy word，我的話會猜deg(f)>=1. 11/12 05:41
→ softseaweed: google出書卻沒看到theorem本身 蠻難判斷的 11/12 05:41
→ softseaweed: less unity 我會讀成to a lesser extent, unity 11/12 05:42
→ softseaweed: 不然其他解釋都怪怪的 有錯請見諒 11/12 05:43
→ noonee: 看起來意思跟一樓說的一樣 最起碼是degree = 1 11/12 07:22
→ noonee: 不過我也沒把握 11/12 07:23
推 bloedchen: integral是積分，integer才是整數 11/12 09:06
b大，integral未必只能翻譯成積分，例如抽象代數裡的integral domain，不會有人翻成
「積分域」，而會翻成「整區」或是「整環」。我想此處應該是採「整」意，而非「積分
」，請參考。
※ 編輯: pentiumevo (49.216.247.93), 11/12/2016 09:29:55
推 bloedchen: 喔喔喔！ 11/12 09:44
推 wohtp: "...less unity" 解作「…減一」無誤 11/12 21:39
推 wohtp: 例句好難想，試試看保險之類的，賠償金會減去你的部分負擔 11/12 21:44
→ wohtp: ……還真有。請google "less your copay",包括引號。 11/12 21:45
→ wohtp: 然後就會有好幾頁的這個用法例子 11/12 21:47
→ wohtp: 另，單位矩陣通常著重的是乘法單位元素的意思 11/12 21:48
→ wohtp: 所以應該會叫identity 11/12 21:49
→ wohtp: unity 感覺比較是「整數加法最小單位」這樣 11/12 21:51
→ wohtp: 當你講實數的一才會說反正都一樣隨便混用 11/12 21:52
→ gentianpan: 我原也猜減一，但我對逗號有意見，因此不肯定，請數 11/14 20:56
→ gentianpan: 學系的站出來回一下~ 11/14 20:56
推 wohtp: 這個定理應該是有理函數都可以做無窮級數展開，但是 11/14 23:51
→ wohtp: nilpotent matrix of degree n滿足A^n=0所以級數只有n項 11/14 23:53
→ wohtp: 所以就是n-1沒錯 11/14 23:54
→ wohtp: 加個逗號只是句子太長喘口氣 11/14 23:56
感謝wohtp大指教，非常清楚！
※ 編輯: pentiumevo (114.26.112.244), 11/17/2016 13:57:28
-----ptt請教文結束-----
另外，關於本句，其實在維基百科英文版Cayley-Hamilton theorem條目寫道：
此定理告訴我們，對於任一矩陣(方陣)所滿足的有理函數或是整函數(實際上是所有的有理函數)，我們可將之考慮為次數至多為原矩陣階數減一的有理函數或是整函數。在某種程度來說，此定理可應用於任意一個與原來所考慮之矩陣相關聯的代數函數。
=====譯者註記開始=====
本句相當長，其中句尾"less unity"初譯時未能明白意義，於是貼文至ptt英文學習版（《Eng-Class》）請教。網友wohtp提供了相當多幫助，非常感謝。
於此附上在ptt之詢問文全文。
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標題 [求譯] 數學論文中的一句話(已解決)
時間 Sat Nov 12 01:11:19 2016
───────────────────────────────────────
請教各位板友一句話：
The theorem shows that every rational and integral function (or indeed every
rational function) of a matrix may be considered as a rational and integral
function, the degree of which is at most equal to that of the matrix, less
unity.
其中的專有名詞：
theorem = 定理
rational and integral function = 有理函數與整函數
matrix = 矩陣
degree = 次數
unity （這個不確定，不知道該翻成「單位矩陣」還是數值1）
我試著解讀，是否可以翻譯成
「此定理指出，任一矩陣的有理函數或是整函數（實際上適用於任何有理函數）
都可看做是一個次數至多為原矩陣大小的有理函數或整函數...」
其中最後逗點之後的less unity不知道是什麼意思。
可以解讀為「減一」嗎？
那這樣翻譯的話，是不是就該重新改寫為
「...次數至多為原矩陣尺寸減1的有理函數或整函數...」
還是說我以上的理解完全錯誤呢？
懇請板友指點，謝謝。
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線性代數一 98 線性代數二93 代數一 95 代數二 97
離散數學 96 基礎數論 98 數學導論(集合論) 100
微積分一 30 45 59 (重修三次) 微積分二 45 52 61 (重修三次)
高等微積分一 54 62 (重修兩次) 高等微積分二 48 52 60 (重修三次)
複變函數論 21 61 (重修兩次) 微分方程 38 61 (重修兩次)
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推 softseaweed: unity是數字1的fancy word，我的話會猜deg(f)>=1. 11/12 05:41
→ softseaweed: google出書卻沒看到theorem本身 蠻難判斷的 11/12 05:41
→ softseaweed: less unity 我會讀成to a lesser extent, unity 11/12 05:42
→ softseaweed: 不然其他解釋都怪怪的 有錯請見諒 11/12 05:43
→ noonee: 看起來意思跟一樓說的一樣 最起碼是degree = 1 11/12 07:22
→ noonee: 不過我也沒把握 11/12 07:23
推 bloedchen: integral是積分，integer才是整數 11/12 09:06
b大，integral未必只能翻譯成積分，例如抽象代數裡的integral domain，不會有人翻成
「積分域」，而會翻成「整區」或是「整環」。我想此處應該是採「整」意，而非「積分
」，請參考。
※ 編輯: pentiumevo (49.216.247.93), 11/12/2016 09:29:55
推 bloedchen: 喔喔喔！ 11/12 09:44
推 wohtp: "...less unity" 解作「…減一」無誤 11/12 21:39
推 wohtp: 例句好難想，試試看保險之類的，賠償金會減去你的部分負擔 11/12 21:44
→ wohtp: ……還真有。請google "less your copay",包括引號。 11/12 21:45
→ wohtp: 然後就會有好幾頁的這個用法例子 11/12 21:47
→ wohtp: 另，單位矩陣通常著重的是乘法單位元素的意思 11/12 21:48
→ wohtp: 所以應該會叫identity 11/12 21:49
→ wohtp: unity 感覺比較是「整數加法最小單位」這樣 11/12 21:51
→ wohtp: 當你講實數的一才會說反正都一樣隨便混用 11/12 21:52
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→ wohtp: nilpotent matrix of degree n滿足A^n=0所以級數只有n項 11/14 23:53
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感謝wohtp大指教，非常清楚！
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-----ptt請教文結束-----
另外，關於本句，其實在維基百科英文版Cayley-Hamilton theorem條目寫道：
For a general n×n invertible matrix A, i.e., one with nonzero determinant, A−1 can thus be written as an (n − 1)-th order polynomial expression in A這正是Cayley在文章中要表達的意思。
=====譯者註記結束=====
2016年11月10日 星期四
[翻譯]Arthur Cayley，矩陣理論紀要(A Memoir on the Theory of Matrices)，part: 4
I obtain the remarkable theorem that any matrix whatever satisfies an algebraical equation of its own order, the coefficient of the highest power being unity, and those of the other powers functions of terms of the matrix, the last coefficeint being in fact the determinant; the rule for the formation of this equation may be stated in the following condensed form, which will be intelligible after a perusal of the memoir, viz. the determinant, formed out of the matrix diminished by the matrix considered as a single quantity involving the matrix unity, will be equal to zero.
我發現了一個特別的定理，可以對任何一個矩陣(方陣)求得其代入後會成立的一條代數方程式，此方程式中最高次項的係數為1，其他次數的項的係數概由矩陣的元素所構成，而最後的常數項則是矩陣的行列式；推導出此方程式的方法或可概述如下，將原來所考慮的矩陣減去一個我們視為單變(未知)量的矩陣(與單位矩陣相關)後，計算所得矩陣的行列式，並令其為0。讀者在閱讀完本備忘錄後將會清楚地理解此推導方法。
我發現了一個特別的定理，可以對任何一個矩陣(方陣)求得其代入後會成立的一條代數方程式，此方程式中最高次項的係數為1，其他次數的項的係數概由矩陣的元素所構成，而最後的常數項則是矩陣的行列式；推導出此方程式的方法或可概述如下，將原來所考慮的矩陣減去一個我們視為單變(未知)量的矩陣(與單位矩陣相關)後，計算所得矩陣的行列式，並令其為0。讀者在閱讀完本備忘錄後將會清楚地理解此推導方法。
2016年11月8日 星期二
[翻譯]Arthur Cayley，矩陣理論紀要(A Memoir on the Theory of Matrices)，part: 3
It will be seen that matrices (attending only to those of the same order) comport themselves as single quantities; they may be added, multiplied or compounded together, &c.: the law of the addition of matrices is precisely similar to that for the addition of ordinary algebraical quantities; as regards their multiplication (or composition), there is the peculiarity that matrices are not in general convertible; it is nevertheless possible to form the powers (positive or negative, integral of fractional) of a matrix, and thence to arrive at the notion of a rational and integral function, or generally of any algebraical function, of a matrix.
我們可將矩陣與矩陣視作一般的量(quantity)來計算(限於同尺寸之矩陣)；矩陣與矩陣彼此可相加、相乘，或是複合(compound，同時進行加法與乘法)等等: 矩陣的加法與我們平素所考慮的代數量的加法雷同；而矩陣的乘法(或是所謂的「合成(composition)」)，必須注意到一個特異點是，一般說來，矩陣必非總是可逆的。不過我們仍然可以考慮矩陣的冪(正數或負數、整數或分數)，順藤摸瓜就引入了以矩陣為變量的有理函數或是整函數，甚或任意代數函數。
我們可將矩陣與矩陣視作一般的量(quantity)來計算(限於同尺寸之矩陣)；矩陣與矩陣彼此可相加、相乘，或是複合(compound，同時進行加法與乘法)等等: 矩陣的加法與我們平素所考慮的代數量的加法雷同；而矩陣的乘法(或是所謂的「合成(composition)」)，必須注意到一個特異點是，一般說來，矩陣必非總是可逆的。不過我們仍然可以考慮矩陣的冪(正數或負數、整數或分數)，順藤摸瓜就引入了以矩陣為變量的有理函數或是整函數，甚或任意代數函數。
2016年11月3日 星期四
[翻譯]Arthur Cayley，矩陣理論紀要(A Memoir on the Theory of Matrices)，part: 2
The notion of such a matrix arises naturally from an abbreviated notation for a set of linear equations, viz. the equations
$$
\begin{eqnarray*}
X &=& ax+by+cz,\\
Y &=& a'x+b'y+c'z\\
Z &=& a''x+b''y+c''z
\end{eqnarray*}
$$
may be more simply represented by
$$
\left[
\begin{array}{c}
X \\
Y \\
Z
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a' & b' & c' \\
a'' & b'' & c''
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array}
\right]
$$
and the consideration of such a system of equations leads to most of the fundamental notions in the theory of matrices.
矩陣的概念係由簡記一組線性方程式自然派生而出，所謂線性方程式，例如
$$
\begin{eqnarray*}
X &=& ax+by+cz,\\
Y &=& a'x+b'y+c'z\\
Z &=& a''x+b''y+c''z
\end{eqnarray*}
$$
$$
\begin{eqnarray*}
X &=& ax+by+cz,\\
Y &=& a'x+b'y+c'z\\
Z &=& a''x+b''y+c''z
\end{eqnarray*}
$$
may be more simply represented by
$$
\left[
\begin{array}{c}
X \\
Y \\
Z
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a' & b' & c' \\
a'' & b'' & c''
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array}
\right]
$$
and the consideration of such a system of equations leads to most of the fundamental notions in the theory of matrices.
矩陣的概念係由簡記一組線性方程式自然派生而出，所謂線性方程式，例如
$$
\begin{eqnarray*}
X &=& ax+by+cz,\\
Y &=& a'x+b'y+c'z\\
Z &=& a''x+b''y+c''z
\end{eqnarray*}
$$
可簡記為
$$
\left[
\begin{array}{c}
X \\
Y \\
Z
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a' & b' & c' \\
a'' & b'' & c''
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array}
\right]
$$
\left[
\begin{array}{c}
X \\
Y \\
Z
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a' & b' & c' \\
a'' & b'' & c''
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array}
\right]
$$
而關於線性方程組的研究，引領出矩陣理論中最基本的幾個概念。
2016年10月31日 星期一
[翻譯]Arthur Cayley，矩陣理論紀要(A Memoir on the Theory of Matrices)，part: 1
----------說明開始----------
說明：
從今日開始，我會開始著手翻譯偉大的英國數學家Arthur Cayley所撰寫的關於矩陣論的著名論文A Memoir on the Theory of Matrices(矩陣理論紀要)。因為我個人的壞習慣，沒辦法有條理的安排教學工作、研究以及生活，所以無法承諾更新進度。不過這篇論文總共24頁，我想今年現在到十二月底還有兩個月，應該是有希望在2106年完成翻譯。
我的英文程度沒有很好，翻譯也只是出自個人興趣，希望想多了解一下偉大天才的思考邏輯，從而可以稍稍學習一點。如果有任何翻譯問題，還請讀者不吝賜教。
基本上我每次更新都是一小段，中英對照，先英文再中文，部分數學符號會更改為現代通用符號。翻譯行文盡量做到信、達由於英文和中文兩語種之間不存在雙射(bijection)，所以翻譯時實際多採意譯，努力做到行文流暢而不失原意的程度。
----------說明結束----------
----------翻譯開始----------
The term matrix might be used in a more general sense, but in the present memoir I consider only square and rectangular matrices, and the term matrix used without qualification is to be understood as meaning a square matrix; in this restricted sense, a set of quantities arranged in the form of a square, e.g.
$$
\left |
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a' & b' & c' \\
a'' & b'' & c'' \\
\end{array}
\right |
$$
is said to be a matrix.
「矩陣(Matrix)」一詞應可在更多方面有更加廣泛的運用，然而在本紀要中，我只考慮方陣(square matrices)與長方陣(rectangle matrices)，此外若無特別說明，以下所提及的矩陣應理解為方陣；按此限制，將一組量(quantity)排成正方形格式，例如
$$
\left |
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a' & b' & c' \\
a'' & b'' & c'' \\
\end{array}
\right |
$$
說明：
從今日開始，我會開始著手翻譯偉大的英國數學家Arthur Cayley所撰寫的關於矩陣論的著名論文A Memoir on the Theory of Matrices(矩陣理論紀要)。因為我個人的壞習慣，沒辦法有條理的安排教學工作、研究以及生活，所以無法承諾更新進度。不過這篇論文總共24頁，我想今年現在到十二月底還有兩個月，應該是有希望在2106年完成翻譯。
我的英文程度沒有很好，翻譯也只是出自個人興趣，希望想多了解一下偉大天才的思考邏輯，從而可以稍稍學習一點。如果有任何翻譯問題，還請讀者不吝賜教。
基本上我每次更新都是一小段，中英對照，先英文再中文，部分數學符號會更改為現代通用符號。翻譯行文盡量做到信、達由於英文和中文兩語種之間不存在雙射(bijection)，所以翻譯時實際多採意譯，努力做到行文流暢而不失原意的程度。
----------說明結束----------
----------翻譯開始----------
A Memoir on the Theory of Matrices
By Arthur Cayley, Esq., F.R.S.
Received Decembed 10, 1857,-Read January 14, 1858.
The term matrix might be used in a more general sense, but in the present memoir I consider only square and rectangular matrices, and the term matrix used without qualification is to be understood as meaning a square matrix; in this restricted sense, a set of quantities arranged in the form of a square, e.g.
$$
\left |
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a' & b' & c' \\
a'' & b'' & c'' \\
\end{array}
\right |
$$
is said to be a matrix.
矩陣理論紀要
Arthur Cayley先生, 皇家學會會士 撰
1857年12月10日收稿，1858年1月14日宣讀
「矩陣(Matrix)」一詞應可在更多方面有更加廣泛的運用，然而在本紀要中，我只考慮方陣(square matrices)與長方陣(rectangle matrices)，此外若無特別說明，以下所提及的矩陣應理解為方陣；按此限制，將一組量(quantity)排成正方形格式，例如
$$
\left |
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a' & b' & c' \\
a'' & b'' & c'' \\
\end{array}
\right |
$$
就稱為「矩陣」。
----------翻譯結束----------
----------註記開始----------
「Esq.」是什麼？
查閱劍橋網路辭典(Cambridge Dictionary)，得到如下資訊
原來Esq.其實是Esquire的縮寫，有兩種意思：英式用法大概可以翻譯成「先生」、「閣下」；美式用法大概就是「律師」。
雖然Arthur Cayley曾經擔任過相當長一段時間的律師，但本篇論文發表於1857年，而Cayley是英國人，皇家學會應該不會使用美式用法去敬稱Cayley律師為「Arthur Cayley, Esq」，所以我這裡決定翻譯成「先生」。
----------註記結束----------
----------翻譯結束----------
----------註記開始----------
「Esq.」是什麼？
查閱劍橋網路辭典(Cambridge Dictionary)，得到如下資訊
原來Esq.其實是Esquire的縮寫，有兩種意思：英式用法大概可以翻譯成「先生」、「閣下」；美式用法大概就是「律師」。
雖然Arthur Cayley曾經擔任過相當長一段時間的律師，但本篇論文發表於1857年，而Cayley是英國人，皇家學會應該不會使用美式用法去敬稱Cayley律師為「Arthur Cayley, Esq」，所以我這裡決定翻譯成「先生」。
----------註記結束----------
2016年10月24日 星期一
樂透，$n$顆球，取$r$顆球，完全沒有連號/有部分連號
近來為準備機率教材，翻閱了張振華先生所著《機率好好玩》[1]。目前讀到第9章，覺得難度不高，每一章都引用了真實新聞報導來討論機率概念，我覺得相當有趣，希望年底可以把整本書消化完畢，把精華部份寫到講義裡，讓學生在學習機率時，不是只面對虛假的人為情境，而認識到真實世界中處處充滿數學問題，尤其機率與每個人的生活具有相當大的關聯性。
若是要批評這本書(前9章)的缺點，我想在於對部分數學公式解釋的不夠清晰，多數只是點到為止，例如在介紹組合數$C^n_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$時，僅僅給一個例子，太薄弱了。對我這樣的行內人來說沒什麼，但對於一般讀者，可能還是讀完例子仍無法體會該公式的內涵。
在第9章，張振華先生介紹了樂透相關機率的計算，其中「所開獎號中，有連號現象(部分連號/完全連號)的機率」一段，張先生雖然在注釋給出了計算公式$P=1-\frac{C^{n-r+1}_r}{C^n_r}$，但卻說推導繁雜，所以就略去推導過程。
我自2016/10/22的晚上開始思考這個公式的由來，一時沒想出來，隔天上班繼續想，仍然沒有頭緒(題外話，雖然我以教數學為業，不過自身的數學屬性似乎偏向幾何方面，組合學一直以來不算相當拿手)。上網查了查資料，看到黃文璋教授發表在《數學傳播》期刊上的文章〈隨機與密碼〉[2]，其中的例題4也談到此公式，然而也沒給出推導。
到了晚上為高三再興模擬考班檢討模擬考的時候，題目之中有一題：
$$
x_1+x_2+x_3=8
$$
但注意其中$x_2 \geq 1$，所以不能直接套用非負整數解個數公式。我們先塞1個X給$x_2$，於是方程式變成
$$
x_1+x_2'+x_3=7
$$
這下就可以直接套用公式了。這個情況(小明寫了2個O，不連續出現)的方法數有$H^3_7=C^{3+7-1}_7=C^9_7=36$種。至於其他情形，想法是類似的，我在此就不一一細談，只再說一句，該題的答案是144種。答案可參考台中一中退休老師賴瑞楓老師的網站：http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/ans/ans110415.swf
那麼這題跟我們原先談的樂透連號機率有什麼關係呢？事實上，我們原先所討論的題目，若是搬到這題，就變成
$r$顆球排成一橫排，可以製造出$r+1$個空間，我們拿$n-r$個X填入這$r+1$個空間。假設第1個空間填入$x_1$個X，第2個空間填入$x_2$個X，...，第$r+1$個空間填入$x_{r+1}$個X，那麼就得到方程式：
$$
x_1+x_2+\cdots+x_{r+1}=n-r
$$
但注意因為不連號，所以從第2個空間(第1顆球與第2顆球所夾住的空間)到第$r$個空間(第$r-1$顆球與第$r$顆球所夾住的空間)，每個都要填入至少1個X，因此就有$x_1 \geq 0, x_2 \geq 1, \cdots, x_r \geq 1, x_{r+1} \geq 0$。因此為了能使用非負整數解個數公式，我們便先對$x_2$到$x_r$這$r-1$個變數各個先給1，於是方程式變為
\begin{eqnarray*}
&x_1+x_2'+\cdots+x_r'+x_{r+1}&=n-r-(r-1)\\
&x_1+x_2'+\cdots+x_r'+x_{r+1}&=n-2r+1
\end{eqnarray*}
其中$x_1 \geq 0, x_2' \geq 0, \cdots, x_r' \geq 0, x_{r+1} \geq 0$，所以利用非負整數解個數公式得到解數$=H^{r+1}_{n-2r+1}=C^{(r+1)+(n-2r+1)-1}_{n-2r+1}=C^{n-r+1}_{n-2r+1}=C^{n-r+1}_{(n-r+1)-(n-2r+1)}=C^{n-r+1}_{r}$種。
結論是，$n$號選$r$號的樂透，開獎號碼完全不連號的情況共有$C^{n-r+1}_{r}$種；$r$號中有部分號碼連號(包含完全連號)的情況共有$C^n_r-C^{n-r+1}_{r}$種。因此，無論是張振華先生的著作，還是黃文璋教授的文章中的公式，我們都可以推導出來：
$$
P(\text{開獎號碼中有連號})=1-P(\text{開獎號碼完全不連號})=1-\frac{C^{n-r+1}_{r}}{C^n_r}
$$
參考資料：
[1] 張振華，機率好好玩(3版)，2014年，台北：五南
網路書店博客來http://www.books.com.tw/products/0010647152
[2]黃文璋，隨機與密碼，數學傳播，第28卷第2期，pp.1-15
http://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d282/28201.pdf
亦可見黃教授在國立高雄大學統計研究所的網頁「追求明牌」
http://www.stat.nuk.edu.tw/prost/lottery/nameplate/nameplate.htm
若是要批評這本書(前9章)的缺點，我想在於對部分數學公式解釋的不夠清晰，多數只是點到為止，例如在介紹組合數$C^n_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$時，僅僅給一個例子，太薄弱了。對我這樣的行內人來說沒什麼，但對於一般讀者，可能還是讀完例子仍無法體會該公式的內涵。
在第9章，張振華先生介紹了樂透相關機率的計算，其中「所開獎號中，有連號現象(部分連號/完全連號)的機率」一段，張先生雖然在注釋給出了計算公式$P=1-\frac{C^{n-r+1}_r}{C^n_r}$，但卻說推導繁雜，所以就略去推導過程。
我自2016/10/22的晚上開始思考這個公式的由來，一時沒想出來，隔天上班繼續想，仍然沒有頭緒(題外話，雖然我以教數學為業，不過自身的數學屬性似乎偏向幾何方面，組合學一直以來不算相當拿手)。上網查了查資料，看到黃文璋教授發表在《數學傳播》期刊上的文章〈隨機與密碼〉[2]，其中的例題4也談到此公式，然而也沒給出推導。
到了晚上為高三再興模擬考班檢討模擬考的時候，題目之中有一題：
某個數學測驗有10題是非題，若題目敘述正確則寫O；若敘述錯誤則寫X。小明作答完成後發現他的答案中沒有連續2題出現O，請問小明的答案有多少種可能情況？(可能10題都是X)其實本題出自於2011年台北區公立高中數學甲模擬考第一次(http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA569.swf)，非選題第1題。解析是考慮小明寫O的個數來分類討論。例如小明完全沒寫O，這樣是1種。小明只寫1個O，那這樣有10種。但接下來的情況比較困難一點點。當小明寫了2個O，此時不能讓這2個O在一起，所以在這2個O之間必須插入至少1個的X。2個O會分出3段空間(假定寫出來的格式為一橫排，由左而右書寫)，我們要拿8個X去填入這3段空間，而且中間的空間至少要填1個X，不難思考這樣的方法數計算應該利用「重複組合」。我們可以假設(由左而右)第1段空間要填入$x_1$個X，第2段空間要填入$x_2$個X，第3段空間要填入$x_3$個X。於是乎就得到方程式
$$
x_1+x_2+x_3=8
$$
但注意其中$x_2 \geq 1$，所以不能直接套用非負整數解個數公式。我們先塞1個X給$x_2$，於是方程式變成
$$
x_1+x_2'+x_3=7
$$
這下就可以直接套用公式了。這個情況(小明寫了2個O，不連續出現)的方法數有$H^3_7=C^{3+7-1}_7=C^9_7=36$種。至於其他情形，想法是類似的，我在此就不一一細談，只再說一句，該題的答案是144種。答案可參考台中一中退休老師賴瑞楓老師的網站：http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/ans/ans110415.swf
那麼這題跟我們原先談的樂透連號機率有什麼關係呢？事實上，我們原先所討論的題目，若是搬到這題，就變成
某個數學測驗有$n$題是非題，若題目敘述正確則寫O；若敘述錯誤則寫X。小明作答完成後發現他的答案中寫了$r$個O，但沒有連續2題出現O，請問小明的答案有多少種可能情況？這裡，測驗=樂透，$n$題是非題=$n$顆球，$r$題寫O=選$r$顆球，沒有連續2題出現O=沒有連號。那這樣我們就有機會推出「樂透開獎完全不連號的機率」。
$r$顆球排成一橫排，可以製造出$r+1$個空間，我們拿$n-r$個X填入這$r+1$個空間。假設第1個空間填入$x_1$個X，第2個空間填入$x_2$個X，...，第$r+1$個空間填入$x_{r+1}$個X，那麼就得到方程式：
$$
x_1+x_2+\cdots+x_{r+1}=n-r
$$
但注意因為不連號，所以從第2個空間(第1顆球與第2顆球所夾住的空間)到第$r$個空間(第$r-1$顆球與第$r$顆球所夾住的空間)，每個都要填入至少1個X，因此就有$x_1 \geq 0, x_2 \geq 1, \cdots, x_r \geq 1, x_{r+1} \geq 0$。因此為了能使用非負整數解個數公式，我們便先對$x_2$到$x_r$這$r-1$個變數各個先給1，於是方程式變為
\begin{eqnarray*}
&x_1+x_2'+\cdots+x_r'+x_{r+1}&=n-r-(r-1)\\
&x_1+x_2'+\cdots+x_r'+x_{r+1}&=n-2r+1
\end{eqnarray*}
其中$x_1 \geq 0, x_2' \geq 0, \cdots, x_r' \geq 0, x_{r+1} \geq 0$，所以利用非負整數解個數公式得到解數$=H^{r+1}_{n-2r+1}=C^{(r+1)+(n-2r+1)-1}_{n-2r+1}=C^{n-r+1}_{n-2r+1}=C^{n-r+1}_{(n-r+1)-(n-2r+1)}=C^{n-r+1}_{r}$種。
結論是，$n$號選$r$號的樂透，開獎號碼完全不連號的情況共有$C^{n-r+1}_{r}$種；$r$號中有部分號碼連號(包含完全連號)的情況共有$C^n_r-C^{n-r+1}_{r}$種。因此，無論是張振華先生的著作，還是黃文璋教授的文章中的公式，我們都可以推導出來：
$$
P(\text{開獎號碼中有連號})=1-P(\text{開獎號碼完全不連號})=1-\frac{C^{n-r+1}_{r}}{C^n_r}
$$
參考資料：
[1] 張振華，機率好好玩(3版)，2014年，台北：五南
網路書店博客來http://www.books.com.tw/products/0010647152
[2]黃文璋，隨機與密碼，數學傳播，第28卷第2期，pp.1-15
http://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d282/28201.pdf
亦可見黃教授在國立高雄大學統計研究所的網頁「追求明牌」
http://www.stat.nuk.edu.tw/prost/lottery/nameplate/nameplate.htm
2016年10月18日 星期二
2016年10月6日 星期四
中垂線判別法
=中垂線判別法=
考慮$\overline{AB}$及一點$P$，若有$\overline{PA}=\overline{PB}$，則$P$必在$\overline{AB}$的中垂線上。
換句話說，若是某點與某線段的兩端點等距，則該線段的中垂線必定穿過某點。
=證明=
若$P$在$\overline{AB}$上，那麼$P$顯然是$\overline{AB}$的中點，當然也就會在$\overline{AB}$的中垂線上。這是一個極端trivial的情況。
以下討論$P$在$\overline{AB}$上的情況。
取$\overline{AB}$的中點為$M$，考慮$\triangle PAM$及$\triangle PBM$。由於$\overline{PA}=\overline{PB}, \overline{PM}=\overline{PM}, \overline{AM}=\overline{BM}$，所以$\triangle PAM \cong \triangle PBM$(SSS全等)。又$\overline{AM}$與$\overline{BM}$同在$\overline{AB}$上，所以有
\begin{eqnarray*}
90^{\circ}
&=& \frac{1}{2} \times 180^{\circ} \\
&=& \frac{1}{2} \times (\angle PMA + \angle PMB) \\
&=& \frac{1}{2} \times (\angle PMA + \angle PMA) \\
&=& \frac{1}{2} \times 2 \angle PMA \\
&=& \angle PMA
\end{eqnarray*}
所以$P, M$所決定之直線為$\overline{AB}$的中垂線(通過$\overline{AB}$的中點M，且與$\overline{AB}$垂直)。
考慮$\overline{AB}$及一點$P$，若有$\overline{PA}=\overline{PB}$，則$P$必在$\overline{AB}$的中垂線上。
換句話說，若是某點與某線段的兩端點等距，則該線段的中垂線必定穿過某點。
=證明=
若$P$在$\overline{AB}$上，那麼$P$顯然是$\overline{AB}$的中點，當然也就會在$\overline{AB}$的中垂線上。這是一個極端trivial的情況。
以下討論$P$在$\overline{AB}$上的情況。
取$\overline{AB}$的中點為$M$，考慮$\triangle PAM$及$\triangle PBM$。由於$\overline{PA}=\overline{PB}, \overline{PM}=\overline{PM}, \overline{AM}=\overline{BM}$，所以$\triangle PAM \cong \triangle PBM$(SSS全等)。又$\overline{AM}$與$\overline{BM}$同在$\overline{AB}$上，所以有
\begin{eqnarray*}
90^{\circ}
&=& \frac{1}{2} \times 180^{\circ} \\
&=& \frac{1}{2} \times (\angle PMA + \angle PMB) \\
&=& \frac{1}{2} \times (\angle PMA + \angle PMA) \\
&=& \frac{1}{2} \times 2 \angle PMA \\
&=& \angle PMA
\end{eqnarray*}
所以$P, M$所決定之直線為$\overline{AB}$的中垂線(通過$\overline{AB}$的中點M，且與$\overline{AB}$垂直)。
(證明終了)
中垂線性質
=中垂線性質=
考慮線段$\overline{AB}$，設$L$為其中垂線。若$P$為$L$上任一點，則$\overline{PA}=\overline{PB}$。
換句話說，中垂線上任一點到線段兩端點等距。
=證明=
假設$\overline{AB}$的中點為$M$。顯然有$\overline{MA}=\overline{MB}$。所以以下討論$P \neq M$之情況。
考慮$\triangle PMA$與$\triangle PMB$，皆為直角三角形，其中$\overline{MA}=\overline{MB}$且$\overline{PM}$為共用邊。應用商高定理(Pythagoras' theorem)，得
\begin{eqnarray*}
\overline{PA}
&=& \sqrt{\overline{MA}^2 + \overline{PM}^2} \\
&=& \sqrt{\overline{MB}^2 + \overline{PM}^2} \\
&=& \overline{PB}
\end{eqnarray*}
考慮線段$\overline{AB}$，設$L$為其中垂線。若$P$為$L$上任一點，則$\overline{PA}=\overline{PB}$。
換句話說，中垂線上任一點到線段兩端點等距。
=證明=
假設$\overline{AB}$的中點為$M$。顯然有$\overline{MA}=\overline{MB}$。所以以下討論$P \neq M$之情況。
考慮$\triangle PMA$與$\triangle PMB$，皆為直角三角形，其中$\overline{MA}=\overline{MB}$且$\overline{PM}$為共用邊。應用商高定理(Pythagoras' theorem)，得
\begin{eqnarray*}
\overline{PA}
&=& \sqrt{\overline{MA}^2 + \overline{PM}^2} \\
&=& \sqrt{\overline{MB}^2 + \overline{PM}^2} \\
&=& \overline{PB}
\end{eqnarray*}
(證明終了)
等線段作圖(複製線段)的檢討
摘要
本文先簡述尺規作圖中關於直尺與圓規的基本限制，而後對《幾何原本》（Euclid's Element）第1卷性質2「一直線，線或內、或外有一㸃，求以㸃為界，作直線與元線等。」回顧傳統作法，並給出我的一個作圖法。
1. 尺規作圖公理
本節內容主要引自維基百科Compass-and-straightedge construction條目。譯文與評註由我給出。
1.1 直尺的限制
[條目原文]The straightedge is infinitely long, but it has no markings on it and has only one straight edge, unlike ordinary rulers. It can only be used to draw a line segment between two points or to extend an existing segment.
[譯文]
作圖的直尺具有無限長度，尺上並無任何刻度，而且整把尺只有一側是平整的，迥異於一般所見到的直尺。作圖的直尺只能畫出相異兩點之間的直線，或是延長已給線段。
[評註]
「整把尺只有一側是平整的」乍看有點奇怪，何必特意加上這個條件呢？事實上，我們一般所見到的直尺，長端的兩側是平行的！這個條件避免了作圖者利用一般直尺所具有的特徵來作出平行線。
1.2 圓規的限制
[條目原文]The compass can be opened arbitrarily wide, but (unlike some real compasses) it has no markings on it. Circles can only be drawn starting from two given points: the centre and a point on the circle. The compass may or may not collapse when it's not drawing a circle.
[譯文]
圓規兩腳可以任意幅度張開，然而，在圓規上頭並無任何刻度(不若一些實際的圓規)。對於任給相異兩點，可以其中任意一點為圓心，而另一點為圓周上的一點來作出圓形。當作圖者未拿著用圓規作圖之時，圓規可能會收合起來，也有可能維持原狀而未收合。
[評註]
「當作圖者未拿著用圓規作圖之時，圓規可能會收合起來，也有可能維持原狀而未收合。」是一個重要的立論基礎。在原條目中，又有一段文字補充此句話：
The modern compass generally does not collapse and several modern constructions use this feature. It would appear that the modern compass is a "more powerful" instrument than the ancient collapsing compass. However, by Proposition 2 of Book 1 of Euclid's Elements, no power is lost by using a collapsing compass. Although the proposition is correct, its proofs have a long and checkered history.
(譯文：現代的圓規一般來說在未作圖的時候不會收合起來，所以有些現代的作圖法會利用此特性來作圖。事實上，相較於古代無法維持開合幅度而會收合起來的圓規，現代圓規是更具方便性的作圖工具。不過，根據Euclid《幾何原本》第1卷性質2，作圖時使用無法維持開合幅度而會收合起來的圓規並不會有任何影響，這一點的證明已在歷史上有著長久的討論與驗證)在單維彰教授寫給高中學生的補充教材〈尺規作圖複製長度〉[1]一文中，強調了「尺規作圖中所利用的圓規無法維持開合幅度而會收合起來」這樣的特性！單教授寫道：
有些教科書，要人張開圓規，將腳和筆分別對準一根直線段$\overline{AB}$的兩端點，把腳移去$C$點，畫出一點$D$，則得到與$\overline{AB}$等長的$\overline{CD}$線段。這就是所謂的『複製線段』。以今日製造圓規的技術，的確可以這樣複製線段。但是，這卻不是所謂的『尺規作圖』。尺規作圖是古希臘人定的規矩，你也可以將它視為一種智力上的遊戲規則。在實用上，當然不必固守古人的規矩。不過，如果要認真執行所謂的『尺規作圖』，當然就要認真地服從當初定下的遊戲規則。否則，就別說自己是在尺規作圖。這樣的批評自然有其道理。我認為，從兩方面來看。若是考慮嚴格的數學論證，當然這樣的批評擲地有聲。然而，換個角度來看，就教育實務來說，有無必要在課堂上對這樣的細節進行討論，可能要視學生程度(興趣、數學成熟度)以及課程時數來決定。另外，由於大家都活在現代，打小長大，所見到的圓規都是「可以固定開合幅度」，強調「尺規作圖所用圓規無法維持開合幅度」或許對學生來說反而感覺怪異。所以數學嚴格性無法與教學現場相調和？我想未必。至少，在編輯教材之際，強調數學史，讓學生穿越時空回到古希臘時代，想像自己拿個古代鱉腳的圓規在雅典學院前討論數學，或許這樣浪漫的想像可以讓學生對尺規作圖這樣的「怪異限制」有所體會。更具體來說，我們或許可以考慮編寫兩種版本的教材，一種是詳盡的引導，如前所述，引入數學史，細緻而平緩的討論各種數學概念。另一種則是速食性質的教材，所謂食譜類型的，適用於對數學興趣不高或是理解力較弱的學生。
1.3 作圖公法
本小節引自中文維基百科【尺規作圖】。以下是尺規作圖中可用的基本方法，也稱為作圖公法，任何尺規作圖的步驟均可分解為以下五種方法：
- 通過兩個已知點可作一直線。
- 已知圓心和半徑可作一個圓。
- 若兩已知直線相交，可求其交點。
- 若已知直線和一已知圓相交，可求其交點。
- 若兩已知圓相交，可求其交點。
2. 等線段作圖
2.1 傳統作法
以下引自單維彰教授的文章。
2.2 我的作法
我認為傳統的做法相當不容易想到，至少對我來說是如此。我看完整個證明，可以理解邏輯的正確性，然而，還是無法完全掌握其中的思考流程，尤其是一開始畫出正三角形，實在費解。因此我個人構思了一個做法，自己認為比較直觀，而且符合教學現場中學生的預備知識。
2.3 檢討
我的想法，主要還是利用對稱性。至於要產生對稱性，自然就會想到作中垂線。這裡可能會被詬病的一點在於中垂線作圖在《幾何原本》中是後面的命題。但我是認為啦，在中學階段所學到的幾何，到底公理之中涵蓋了哪幾條，也就是我們到底可以從那些公理出發，才是問題的癥結點。畢竟學尺規作圖的時候，現行課綱還沒談到三角形全等。如果先已知三角形全等公理(SSS)，那麼我的這個做法也就大概沒什麼問題。有任何問題歡迎各位朋友留言或寫信給我。
參考文獻
[1] 單維彰，尺規作圖複製長度，http://www.sanmin.com.tw/learning/science/highschool/math_text/p6.pdf2016年10月2日 星期日
2016年9月29日 星期四
2016年9月3日 星期六
2016年8月12日 星期五
台中區國立高級中學103學年度大學入學第一次學科能力測驗聯合模擬考，選填2
=題目=
紅綠建設公司在台中打算建造10層樓高的總部大樓，為了凸顯公司特色，決定每層樓只能用紅色或綠色的油漆來粉刷，而且不能有連續兩層是紅色的，則他們有幾種可能的粉刷方式？
=解答=
俞克斌先生的解法是插空隙，請參考http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA367ans.swf。事實上本題可以考慮遞迴解法。
定義全部n層樓時，塗法為$a_n$種。
先對幾個比較小的n值來計算。
$n=1$時，因為可以塗紅色或綠色，所以$a_1=2$。
$n=2$時，從一樓開始記起，合乎條件的塗色方式有：「綠綠」(1樓為綠色、2樓為綠色)、「綠紅」(1樓為綠色、2樓為紅色)、「紅綠」(1樓為紅色、2樓為綠色)。所以$a_2=3$。
$n=3$時，合乎條件的塗色方式有：
$(1^{\circ})$ 3綠：「綠綠綠」
$(2^{\circ})$2綠1紅：「綠綠紅」、「綠紅綠」、「紅綠綠」
$(3^{\circ})$1綠2紅：「紅綠紅」
所以$a_3=5$。
彙整以上結果有：$a_1=2, a_2=3, a_3=5$。可以猜測$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}, n \geq 3$。
事實上，當全部樓層為n層時(n當然要足夠大，總不會對很小的n來討論)，最後一層，也就是第n層，其顏色只有2種可能，綠色或是紅色。
若是第n層為綠色，那麼向前推，第$n-1$層會是什麼顏色呢？其實紅跟綠都可以的。換句話說，如果確定第n層為綠色，那麼只需考慮前面全部$n-1$層的塗法，因此這時的塗法數為$a_{n-1}$。
若是第n層為紅色，那麼根據題目條件「不能有連續兩層是紅色的」，可以推知第$n-1$層必定是綠色。再繼續向前推，類似於方才的討論，只需考慮前面全部$n-2$層的塗法，因此這時的塗法數為$a_{n-2}$。
我們將全部n層時的塗法分為兩大類，一類是「第n層樓為綠色」，此時塗法數為$a_{n-1}$；另一類是「第n層樓為綠色」，此時塗法數為$a_{n-2}$。所以得到
$\left \{ \begin{array}{l} a_1=2, a_2=3, \\ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}, n \geq 3.\end{array} \right.$
這是Fibonacci數列。題目所求的$a_{10}$，基本上可以直接用手算，列表如下：
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144
故所求$a_{10}=144$。
當然，利用Fibonacci數列的一般項公式，可以輕易算出任何n值時的$a_n$，我個人偏好的生成函數解法，請參考https://ccjou.wordpress.com/2013/10/23/%E9%81%9E%E8%BF%B4%E9%97%9C%E4%BF%82%E5%BC%8F%E7%9A%84%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B8%E8%A7%A3%E6%B3%95/的例三。
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