2021年1月15日 星期五

圓方程式與平面向量的一個問題

 =問題=

學校教官來到圓形公園進行大地尋寶課程,教官發給同學一份圓形公園的平面地圖,地圖上給了三個提示:

第一,將此圓形公園的方程式設為$C: (x+2)^2+(y-4)^2=25$且寶物就藏在地圖中的$P$點;

第二,請移動至地圖上的大樹$A$點處拿取第二個提示;

第三,請移動至地圖上的雕像$B$點拿取第三個提示。

欣茹至$A, B$兩處拿到的分別為$\overrightarrow{AP} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -10 \end{array} \right], \overrightarrow{BP} = \left[ \begin{array}{c} 10 \\ -4 \end{array} \right]$。已知$A, B$兩點均在圓周上,請問寶藏地點$P$的座標為何?

=解答=

圓$C$的圓心為$C=(-2, 4)$,半徑為5。

計算$\overrightarrow{AB}$如下:

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{BP} =  \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -10 \end{array} \right] -  \left[ \begin{array}{c} 10 \\ -4 \end{array} \right] =  \left[ \begin{array}{c} -8 \\ -6 \end{array} \right],$$

於是可知$|\overrightarrow{AB}| = 10$,故可斷定$A, B$為直徑兩端點。再由圓參數式可假設

$$A = (-2 + 5 \cos \theta, 4 + 5 \sin \theta), B = (-2 - 5 \cos \theta, 4 - 5 \sin \theta).$$

再假設$P$點座標為$(p_1, p_2)$,於是代回題目所給$\overrightarrow{AP}$與$\overrightarrow{BP}$可得

$$\overrightarrow{AP} = \left[ \begin{array}{c} p_1 - (-2 + 5 \cos \theta) \\ p_2 - (4 + 5 \sin \theta) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -10 \end{array} \right],$$

$$\overrightarrow{BP} = \left[ \begin{array}{c} p_1 - (-2 - 5 \cos \theta) \\ p_2 - (4 - 5 \sin \theta) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 10 \\ -4 \end{array} \right].$$

重新整理,可得兩組二元一次方程式:

$$\left\{ \begin{array}{l} p_1 + 2 - 5 \cos \theta = 2 \\ p_1 + 2 + 5 \cos \theta = 10 \end{array} \right. \quad 與 \quad \left\{ \begin{array}{l} p_2 - 4 - 5 \sin \theta = -10 \\ p_2 - 4 + 5 \sin \theta = -4 \end{array} \right. .$$

便可解出$p_1 = 4, p_2 = -3$,即$P$之座標為$(4, -3)$。

=附註=

育嫆說:

所以看來我給的解法不是那麼友善...但我也沒想出其他作法,傷腦筋喔!

1 則留言:

  1. 有更簡單的解法!!因為線段AB是直徑,所以通過圓心C,且AC向量=CB向量=1/2*AB向量=(-4,-3),OA=OC+CA=(-2,4)+(4.3)=(2.7),OP=OA+AP=(2,7)+(2,-10)=(4,-3) (PS:最後兩式中都是向量)

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