==問題==
在實數線上，動點A從原點開始往正向移動，動點B從8的位置開始往負向移動。兩個動點每一秒移動一次，已知第一秒A、B移動的距離分別為1、4，且A、B每次移動的距離分別為其前一次移動距離的$\frac{1}{2}$倍、$\frac{1}{3}$倍。令$c_n$為第$n$秒時A、B的中點位置。請選出正確選項。(1) $c_1 = \frac{5}{2}$
(2) $c_2 > c_1$
(3) 數列$\left< c_{n+1} - c_n \right>$是一個等比數列
(4) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 2$
(5) $c_{1000} > 2$
[105，指考，數學甲，多選7]
==解答==
假定第$n$秒時，點A的位置為$a_n$，點B的位置為$b_n$。
於是$a_1 = 1, b_1 = 4$。
再假定點A於第$n$秒內的移動量(考慮正負)為$d_n$，點B於第$n$秒內的移動量(考慮正負)為$\delta_n$。
於是$d_1 = 1, \delta_1 = -4$，然後$d_2 = \frac{1}{2}, \delta_2 = -4 \cdot \frac{1}{3}$，因此可推論$d_n = \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}, \delta_n = -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}$。
根據題意與假設，可得
$$a_n = a_{n-1} + d_n, b_n = b_{n-1} + \delta_n.$$
代入前述對$d_n$與$\delta_n$的計算，可得
$$a_n = a_{n-1} + \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}, b_n = b_{n-1} -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}.$$
接著，由於
\begin{eqnarray*}
a_2 - a_1 &=& \left( \frac{1}{2} \right)^1 \\
a_3 - a_2 &=& \left( \frac{1}{2} \right)^2 \\
&\vdots& \\
a_n - a_{n-1} &=& \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}
\end{eqnarray*}
從而
\begin{eqnarray*}
a_n - a_1 &=& \left( \frac{1}{2} \right)^1 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \cdots + \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \\
&=& \frac{\frac{1}{2} \cdot \left[ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \right]}{1 - \frac{1}{2}} \\
&=& 1 - \frac{1}{2^{n-1}}
\end{eqnarray*}
故
$$a_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}.$$
另外一方面，由於
\begin{eqnarray*}
b_2 - b_1 &=& -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^1 \\
b_3 - b_2 &=& -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 \\
&\vdots& \\
b_n - b_{n-1} &=& -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}
\end{eqnarray*}
從而
\begin{eqnarray*}
b_n - b_1 &=& -4 \cdot \left[ \left( \frac{1}{3} \right)^1 + \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \cdots + \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \right] \\
&=& -4 \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \left[ 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \right]}{1 - \frac{1}{3}} \\
&=& -2 + \frac{2}{3^{n-1}}
\end{eqnarray*}
故
$$b_n = 2 + \frac{2}{3^{n-1}}.$$
那麼
$$c_n = \frac{a_n + b_n}{2} = \frac{2 - \frac{1}{2^{n-1}} + 2 + \frac{2}{3^{n-1}}}{2} = 2 - \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^{n-1}}.$$
以下開始處理各選項。
(1) $c_1 = 2 - \frac{1}{2^1} + \frac{1}{3^{1-1}} = 2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{2}$。正確。
(2) $c_2 = 2 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^{2-1}} = 2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{25}{12} < \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = c_1$。錯誤。
(3) $c_{n-1} - c_n = \left( 2 - \frac{1}{2^{n+1}} + \frac{1}{3^n} \right) - \left( 2 - \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^{n-1}} \right) = \frac{1}{2^{n+1}} - \frac{2}{3^n}$。錯誤。
(4) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 2 - \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^{n-1}} \right) = 2 - 0 + 0 = 0$(請注意，$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^n} = 0$且$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{3^{n-1}} = 0$，故可使用極限的四則運算)。正確。
(5) $c_{1000} = 2 - \frac{1}{2^{1000}} + \frac{1}{3^{999}}$，由於$\log 2^{1000} = 1000 \cdot \log 2 \approx 1000 \cdot 0.301 = 301$，$\log 3^{999} = 999 \cdot \log 3 \approx 999 \cdot 0.4771 = 476.6229$，故$2^{1000}< 3^{999}$，從而$- \frac{1}{2^{1000}} + \frac{1}{3^{999}} = \frac{1}{3^{999}} - \frac{1}{2^{1000}} < 0$，因此$c_{1000} = 2 + \text{負數} < 2$。錯誤。
選(1)、(4)。
\begin{eqnarray*}
a_2 - a_1 &=& \left( \frac{1}{2} \right)^1 \\
a_3 - a_2 &=& \left( \frac{1}{2} \right)^2 \\
&\vdots& \\
a_n - a_{n-1} &=& \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}
\end{eqnarray*}
從而
\begin{eqnarray*}
a_n - a_1 &=& \left( \frac{1}{2} \right)^1 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \cdots + \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \\
&=& \frac{\frac{1}{2} \cdot \left[ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \right]}{1 - \frac{1}{2}} \\
&=& 1 - \frac{1}{2^{n-1}}
\end{eqnarray*}
故
$$a_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}.$$
另外一方面，由於
\begin{eqnarray*}
b_2 - b_1 &=& -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^1 \\
b_3 - b_2 &=& -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 \\
&\vdots& \\
b_n - b_{n-1} &=& -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}
\end{eqnarray*}
從而
\begin{eqnarray*}
b_n - b_1 &=& -4 \cdot \left[ \left( \frac{1}{3} \right)^1 + \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \cdots + \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \right] \\
&=& -4 \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \left[ 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \right]}{1 - \frac{1}{3}} \\
&=& -2 + \frac{2}{3^{n-1}}
\end{eqnarray*}
故
$$b_n = 2 + \frac{2}{3^{n-1}}.$$
那麼
$$c_n = \frac{a_n + b_n}{2} = \frac{2 - \frac{1}{2^{n-1}} + 2 + \frac{2}{3^{n-1}}}{2} = 2 - \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^{n-1}}.$$
以下開始處理各選項。
(1) $c_1 = 2 - \frac{1}{2^1} + \frac{1}{3^{1-1}} = 2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{2}$。正確。
(2) $c_2 = 2 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^{2-1}} = 2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{25}{12} < \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = c_1$。錯誤。
(3) $c_{n-1} - c_n = \left( 2 - \frac{1}{2^{n+1}} + \frac{1}{3^n} \right) - \left( 2 - \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^{n-1}} \right) = \frac{1}{2^{n+1}} - \frac{2}{3^n}$。錯誤。
(4) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 2 - \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^{n-1}} \right) = 2 - 0 + 0 = 0$(請注意，$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^n} = 0$且$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{3^{n-1}} = 0$，故可使用極限的四則運算)。正確。
(5) $c_{1000} = 2 - \frac{1}{2^{1000}} + \frac{1}{3^{999}}$，由於$\log 2^{1000} = 1000 \cdot \log 2 \approx 1000 \cdot 0.301 = 301$，$\log 3^{999} = 999 \cdot \log 3 \approx 999 \cdot 0.4771 = 476.6229$，故$2^{1000}< 3^{999}$，從而$- \frac{1}{2^{1000}} + \frac{1}{3^{999}} = \frac{1}{3^{999}} - \frac{1}{2^{1000}} < 0$，因此$c_{1000} = 2 + \text{負數} < 2$。錯誤。
選(1)、(4)。
(解答結束)
