2019年8月20日 星期二

無限循環小數的總和

==主旨==

  1. 觀察各位值數字的排列,得出所有排列數字的總和。
  2. 引導學生推出「無限循環小數化為分數的公式」

==題目==

  1. a, b分別代表不同的數字,請問由a, b所構成之各位相異的二位數有多少種?
  2. a, b, c分別代表不同的數字,請問由a, b, c所構成之各位相異的三位數有多少種?
  3. a, b, c, d, e分別代表不同的數字,請問由a, b, c, d, e所構成之各位相異的五位數有多少種?
  4. 小學學過的定位板告訴我們每個整數的十進表示是由哪些數所構成:
    $$a_n a_{n - 1} \cdots a_2 a_1 = a_n \times 10^{n - 1} + a_{n - 1} \times 10^{n - 2} + \cdots + a_2 \times 10^1 + a_1 \times 10^0.$$
    請將五位數$abcde$表示為以上的形式。
  5. 在上一小題中,
    (i) 有多少個五位數含有$a \times 10^4$?
    (ii) 有多少個五位數含有$a \times 10^3$?
    (iii) 有多少個五位數含有$a \times 10^2$?
    (iv) 有多少個五位數含有$a \times 10^1$?
    (v) 有多少個五位數含有$a \times 10^0$?
  6. ab分別代表不同的數字,請問無限循環小數
    $$0.ababab\cdots$$
    化為分數後為何?請以數字及a, b表示。
  7. a, b, c分別代表不同的數字,請問無限循環小數
    $$0.abcabcabc\cdots$$
    化為分數後為何?請以數字及a, b, c表示。
  8. a, b cde分別代表不同的數字,請問無限循環小數
    $$0.abcdeabcdeabcde\cdots$$
    化為分數後為何?請以數字及ab cde表示。
  9. 數字全用,但不重複,由1, 3, 5, 7, 9這五個數字所構成的純循環小數(形如$0.\overline{13579}, 0.\overline{53971}$等),共有多少個?總和是多少?
    [提示:欲計算總和,請先化為分數後再計算比較容易。]

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