2019年8月19日 星期一

充分條件與必要條件,不等式的解集合,1990中國高考數學全國卷

==主旨==

這份習題的目標是藉由圖解不等式來認識「充分條件」與「必要條件」的定義。

==導引==

定義 考慮兩敘述A, B,若可由敘述A推導出敘述B,也就是$A \Rightarrow B$,則
(i) 稱敘述A為敘述B的充分條件(sufficient condition)。
(ii) 稱敘述B為敘述A的必要條件(necessary condition)。

例子 敘述A:「碧曲是正妹。」;敘述B:「碧曲是人類。」

如果敘述A正確,也就是我們已經知道碧曲確實是正妹,那麼碧曲一定是人類,亦即敘述B是正確的。因此我們可以從敘述A推導出敘述B

套用以上對於「充分條件」與「必要條件」的定義,我們會說:
(i) 「碧曲是人類」為「碧曲是正妹」的必要條件;
(ii) 「碧曲是正妹」為「碧曲是人類」的充分條件;

注意 但是如果把兩個敘述的位置對調反過來,那麼推理的鍊條未必串的起來。這就是說,就算敘述B是正確的,我們知道「碧曲是人類」,可是我們卻無法由此推論出「碧曲是正妹」,不能確定敘述A正確與否。

定義 考慮兩敘述AB,若可由敘述A推導出敘述B,同時也可由敘述B推導出敘述A,亦即有$A \Leftrightarrow B$,那麼兩條件互稱為彼此的充要條件(sufficient and necessary condition)。

復向東,見一商港,然商販皆金髮碧眼,料是海外來朝之英吉利商販集散所在,舶來異寶眾多,正目眩神迷間,琴聲價響,佇聽之,或如山壑雅秀,或如水潭靜謐,時悠遠輕揚,復而厚實凝重,令人神馳,急尋琴聲來處,見一英吉利女子正自奏藝販琴,當下文思泉湧,兼有結識之意,於是突出人群,吟詩唱和:「商娥扶碧曲,秀謐悠而厚...」詩未竟,曲驟斷,但見英女神色驚訝,連聲曰諾,正暗喜間,卻見數名英商巡官怒目而來倒拖吾身,飽以老拳。嗟乎,奈何蠻夷終究不識詩詞曲賦之美...。

==題目,第1組,中國1990高考數學全國卷文史類組==


  1. 圖解不等式:$0 < x < 5$。
  2. 解不等式:$| x - 2| < 3$,並圖解之。
  3. 若將第1題的圖形稱為甲,將第2題的圖形稱為乙,請問甲乙兩者的包含關係為何?是甲包含乙,還是乙包含甲,還是沒有包含關係?
    請注意這裡所謂的「包含在...之中」是指完全包含。若只有一部份重疊就不算包含了。
  4. 如果某點在圖形甲之中,那麼該點一定會在圖形乙之中嗎?如果不會,那麼是哪些點不聽話呢?
  5. 如果某點在圖形乙之中,那麼該點一定會在圖形甲之中嗎?如果不會,那麼是哪些點不聽話呢?
  6. [原題] 設命題甲為:$0 < x < 5$;命題乙為:$| x - 2| < 3$。那麼
    (A) 甲是乙的充分條件,但不是乙的必要條件。
    (B) 甲是乙的必要條件,但不是乙的充分條件。
    (C) 甲是乙的充要條件。
    (D) 甲不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件。


==題目,第2組,中國1990高考數學全國卷理工農醫類組==


  1. 取定正數h,在座標平面上畫出不等式$| x - y| < 2h$的解區域。
  2. 同樣的正數h,在座標平面上畫出聯立不等式$\left\{ \begin{array}{l} | x - 1| < h \\ | y - 1| < h \end{array} \right.$的解區域。(請注意聯立不等式意味著兩條式子的條件要同時滿足!)
  3. 若將第1題的圖形稱為甲,將第2題的圖形稱為乙,請問甲乙兩者的包含關係為何?是甲包含乙,還是乙包含甲,還是沒有包含關係?
    請注意這裡所謂的「包含在...之中」是指完全包含。若只有一部份重疊就不算包含了。
  4. 如果某點在圖形甲之中,那麼該點一定會在圖形乙之中嗎?如果不會,那麼是哪些點不聽話呢?
  5. 如果某點在圖形乙之中,那麼該點一定會在圖形甲之中嗎?如果不會,那麼是哪些點不聽話呢?
  6. [原題] 已知$h > 0$。設命題甲為:兩個實數x, y滿足$| x - y| < 2h$;命題乙為:兩個實數xy滿足$| x - 1| < h$且$| y - 1| < h$。那麼
    (A) 甲是乙的充分條件,但不是乙的必要條件。
    (B) 甲是乙的必要條件,但不是乙的充分條件。
    (C) 甲是乙的充要條件。
    (D) 甲不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件。


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