1 The positive integer

==自然數/正整數==

正整數(Positive integer)：1, 2, 3, ...。也稱為自然數(Natural number)。

==基本運算：加法、乘法==

$\forall a, b \in \mathbb{N}$，可計算它們的和(sum) $a + b$與積(product) $ab$。

加法封閉性：正整數$+$正整數$=$正整數。

乘法封閉性：正整數$\times$正整數$=$正整數。

==運算律==

交換律(commutative law)：

加法：$a + b = b + a$。

乘法：$ab = ba$。

結合律(associative law)

加法：$a + (b + c) = (a + b) + c$。

乘法：$a(bc) = (ab)c$。

分配律(distribution law)

$a(b + c) = ab + ac$。

==例子==

證明：$7(3 \cdot 6) = 6 (3 \cdot 7)$。

[解].
\begin{eqnarray*}
7(3 \cdot 6) &=& (7 \cdot 3) 6 \quad [\text{乘法結合律}] \\
&=& 6 (7 \cdot 3) \quad [\text{乘法交換律}] \\
&=& 6 (3 \cdot 7) \quad [\text{乘法交換律}]
\end{eqnarray*}

(解答結束)

證明：$a(b + c) = ca + ab$。

[解].
\begin{eqnarray*}
a(b + c) &=& ab + ac \quad [\text{分配律}] \\
&=& ac + ab \quad [\text{加法交換律}] \\
&=& ca + ab \quad [\text{乘法交換律}]
\end{eqnarray*}

(解答結束)

==不具備一般運算律的例子==

定義$a \oplus b = 2a, a \odot b = 2ab$。

$a \oplus b = 2a$，而$b \oplus a = 2b$，所以$a \oplus b \ne b \oplus a$，不滿足加法交換律。

$a \odot b = 2ab$，而$b \odot a = 2ba = 2ab$，有$a \odot b = b \odot a$，滿足乘法交換律。

$a \oplus (b \oplus c) = a \oplus 2b = 2a$，而$(a \oplus b) \oplus c = 2a \oplus c = 2(2a) = 4a$，所以$a \oplus (b \oplus c) \ne (a \oplus b) \oplus c$，不滿足加法結合律。

$a \odot (b \odot c) = a \odot 2bc = 2a(2bc) = 4abc$，而$(a \odot b) \odot c = 2ab \odot c = 2(2ab)c = 4abc$，有$a \odot (b \odot c) = (a \odot b) \odot c$，滿足乘法結合律。

$a \odot (b \oplus c) = a \odot 2b = 2a(2b) = 4ab$，而$a \odot b \oplus a \odot c = 2ab \oplus 2ac = 2(2ab) = 4ab$，有$a \odot (b \oplus c) = a \odot b \oplus a \odot c$，滿足分配律。