$\sin 18^{\circ}$及其相關的數值

==定理==

$\displaystyle \sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$。

==推導==

首先注意$18^{\circ} \times 5 = 90^{\circ}$。命$\theta = 18^{\circ}$，即有$5\theta = 90^{\circ}$。

我們已知的基礎公式有：

1. $\sin \varphi = \cos (90^{\circ} - \varphi)$；
2. $\sin 3 \varphi = 3 \sin \varphi - 4 \sin^3 \varphi$；
3. $\cos 2 \varphi = \cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi = 2 \cos^2 \varphi -1 = 1 - 2 \sin^2 \varphi$。

於是有

\begin{align*}
\sin 3 \theta &= \sin (90^{\circ} - 2 \theta),  \\
\sin 3 \theta &= \cos 2 \theta, \\
3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta &= \cos 2 \theta, \\
3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta &= 1 - 2 \sin^2 \theta.
\end{align*}

得方程式

$$4 \sin^3 \theta - 2 \sin^2 \theta - 3 \sin \theta + 1 = 0.$$
此地我們要解出$\sin \theta$。注意到方程式係數和為$0$，所以容易因式分解得
$$(\sin \theta - 1)(4 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta - 1) = 0,$$
從而得
$$\displaystyle \sin \theta = 1, \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}.$$
但$\sin 18^{\circ} > 0$且$< 1$，所以
$$\displaystyle \sin 18^{\circ} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}.$$

(證明終了)

==其他相關數值==

• $\displaystyle \cos 18^{\circ} = \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4}$

[証]. 利用$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，同時注意$\cos 18^{\circ} > 0 $，所以$\cos 18^{\circ} = + \sqrt{1 - \sin^2 18^{\circ}} = \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4}$。

• $\displaystyle \sin 72^{\circ} = \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4}$

[証]. 利用$\sin 72^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 18^{\circ}) = \cos 18^{\circ} = \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4}$。

• $\displaystyle \cos 72^{\circ} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

[証]. 利用$\cos 72^{\circ} = \cos (90^{\circ} - 18^{\circ}) = + \sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$。

• $\displaystyle \sin 108^{\circ} = \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4}$

[証]. 利用$\sin 108^{\circ} = \sin (90^{\circ} + 18^{\circ}) =  + \cos 18^{\circ} = \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4}$。

• $\displaystyle \cos 108^{\circ} = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

[証]. 利用$\cos 108^{\circ} = \cos (90^{\circ} + 18^{\circ}) =  - \sin 18^{\circ} = - \frac{\sqrt{5} - 1}{4} = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$。

• $\displaystyle \sin 36^{\circ} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$

[証]. $\sin 36^{\circ} = \sin 2 \times 18^{\circ} = 2 \sin 18^{\circ} \cos 18^{\circ} = 2 \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \cdot \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$。

• $\displaystyle \cos 36^{\circ} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

[証]. $\cos 36^{\circ} = \cos 2 \cdot 18^{\circ} = 2(\cos 18^{\circ})^2 - 1 = 2 \left( \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} \right)^2 -1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$。

• $\displaystyle \sin 42^{\circ} = \frac{\sqrt{30 + 6 \sqrt{5}} - \sqrt{5} + 1}{8}$

[証]. 利用$\sin 42^{\circ} = \sin (60^{\circ} - 18^{\circ}) =  \sin 60^{\circ} \cos 18^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 18^{\circ}$。

• $\displaystyle \cos 42^{\circ} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}} + \sqrt{15} - \sqrt{3}}{8}$

[証]. 利用$\cos 42^{\circ} = \cos (60^{\circ} - 18^{\circ}) =  \cos 60^{\circ} \cos 18^{\circ} + \sin 60^{\circ} \sin 18^{\circ}$。

==整理==

\begin{array}{ccc}
\text{角度} \theta & \sin \theta & \cos \theta \\
\hline
18^{\circ} & \frac{\sqrt{5} - 1}{4} & \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4} \\
36^{\circ} & \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} & \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \\
42^{\circ} & \frac{\sqrt{30 + 6 \sqrt{5}} - \sqrt{5} + 1}{8} & \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}} + \sqrt{15} - \sqrt{3}}{8} \\
72^{\circ} & \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4} &\frac{\sqrt{5} - 1}{4}  \\
108^{\circ} & \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4} & \frac{1 - \sqrt{5}}{4}
\end{array}