單變數函數的導函數的定義與例子

導函數的定義

設$(a, b) \subseteq \mathbb{R}$。

若$\forall x \in (a, b)$，$f$在$x$皆可導，則稱$f$在$(a, b)$上可導。此時得一函數(映射)

$$f': (a, b) \rightarrow \mathbb{R}, f': x \mapsto f'(x).$$

此函數稱為$f$在$(a, b)$上的導函數(derivative)。

導函數的例子

例1. 常數函數的導函數。

設$c \in \mathbb{R}$是一個常數，$f_1 : (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_1 (x) = c$。$\forall x \in (-\infty, +\infty)$有$f_1' (x) = 0$，$f_1$在$(-\infty, +\infty)$上可導，所以$f_1$在$(-\infty, +\infty)$的導函數為$f_1' (x) = 0$。

例2. 線型/一次函數的導函數。

設$m, k \in \mathbb{R}, m \neq 0$，$f_2 : (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_2 (x) = mx+k$。$\forall x \in (-\infty, +\infty)$有$f_2' (x) = m$，$f_2$在$(-\infty, +\infty)$上可導，所以$f_2$在$(-\infty, +\infty)$的導函數為$f_2' (x) = m$。

例3. 二次函數的導函數。

設$a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0$，$f_3 : (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_3 (x) = ax^2 + bx +c$。$\forall x \in (-\infty, +\infty)$有$f_3' (x) = 2ax+b$，$f_3$在$(-\infty, +\infty)$上可導，所以$f_3$在$(-\infty, +\infty)$的導函數為$f_3' (x) = 2ax+b$。

例4. $n$次方函數的導函數。

設$n \in \mathbb{N}$，$f_4 : (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_4 (x) = x^n$。$\forall x \in (-\infty, +\infty)$有$f_4' (x) = nx^{n-1}$，$f_4$在$(-\infty, +\infty)$上可導，所以$f_4$在$(-\infty, +\infty)$的導函數為$f_4' (x) = nx^{n-1}$。

例5. 倒數函數的導函數。

設$f_5 : (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_5 (x) = \frac{1}{x}$。$\forall x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$有$f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}$，$f_5$在$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$上可導，所以$f_5$在$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$的導函數為$f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}$。

例6. 平方根函數的導函數。

設$f_6 : [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_6 (x) = \sqrt{x}$。$\forall x \in (0, +\infty)$有$f_6' (x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$，$f_6$在$(0, +\infty)$上可導(注意這裡可導的區間是開區間！)，所以$f_6$在$(0, +\infty)$的導函數為$f_6' (x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。