2020年6月15日 星期一

排列問題:派遣老師到外縣市研習

==問題==

學校想從7名教師中選派4人分別到台北市、台中市、台南市及高雄市等四個縣市參加研習,其中甲不到台北市,乙不到高雄市,請問共有多少種派遣的方案?

==解答==

先決定派遣的老師(組合),再決定前往的縣市。

按照選到的老師,分成以下4種情況:

Case 1:沒有甲,也沒有乙

$${5 \choose 4} \times 4! = 5 \times 24 = 120.$$

Case 2:有甲,但沒有乙

$${1 \choose 1} \times {5 \choose 3} \times {3 \choose 1} \times 3! = 1 \times 10 \times 3 \times 6 = 180.$$

Case 3:沒有甲,但有乙

$${1 \choose 1} \times {5 \choose 3} \times {3 \choose 1} \times 3! = 1 \times 10 \times 3 \times 6 = 180.$$

Case 4:有甲,也有乙

首先決定老師:${2 \choose 2} \times {5 \times 2} = 1 \times 10 = 10$。

先針對這10種情況的其中1種討論。

命事件$A = \{ \text{甲排首} \}, B = \{ \text{乙排首} \}$。

所求為
$$\begin{eqnarray*} n(A' \cap B') &=& n[(A \cup B)'] \\ &=& n(U) - n(A \cup B) \\ &=& 4! - [n(A) + n(B) - n(A \cap B)] \\ &=& 24 - [1 \times 3! + 1 \times 3! - 1 \times 1 \times 2!] \\ &=& 24 - 6 - 6 + 2 \\ &=& 14. \end{eqnarray*}$$

所以Case 4共有$14 \times 10 = 140$種。

綜上所述,全部方法有$120 + 180 + 180 + 140 = 620$種。

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