排列問題：甲、乙、丙...等7人排成一列

==問題==

甲、乙、丙...等7人排成一列，甲、乙、丙任兩人皆不相鄰之排列數為$m$，甲、乙、丙皆不排首、末位之排列數為$n$，試求出$m, n$。

==解答==

人：$p_1, p_2, p_3, p_4, p_5, p_6, p_7$。

甲$= p_1$，乙$= p_2$，丙$= p_3$。

甲、乙、丙任兩人皆不相鄰之排列數的計算

先讓$p_4, p_5, p_6, p_7$排列，然後再讓$p_1, p_2, p_3$插空。

$$m = 4! \times {5 \choose 1} \times {4 \choose 1} \times {3 \choose 1} = 24 \times 5 \times 4 \times 3 = 1440.$$

甲、乙、丙皆不排首、末位之排列數的計算

空位□□□□□□□中，甲、乙、丙三人不可出現在首與末，所以只能在中間的5個位置出現。

$$n = {5 \choose 3} \times 3! \times 4! = 10 \times 6 \times 24 = 1440.$$

附註：感謝金門高中許淵智老師協助確認答案。