志村五郎《數學應該如何教 (数学をいかに教えるか)》〈3. 乘法的順序〉

乘法的順序

志村五郎

有 5 輛載著 3 噸沙子的卡車。沙子總共有幾噸？針對這個問題，寫成 $3 \times 5 = 15$ 或 $5 \times 3 = 15$ 並回答 15 噸即可，但據說似乎有一種教法認為 $3 \times 5$ 與 $5 \times 3$ 當中只有一者是正確的方法，而另一者則是不正確的。我認為兩者皆可，因此並不知道哪一邊才被視為正確。

直到大約三年前為止，我並不知道這個奇妙的事實。從我還是小學生時，直到三年前聽到這件事為止，我從未想過竟然會有人做出這種區別。這似乎始於 1950 年代，當時部分教育家發明了「乘數」與「被乘數」這些術語，並開始主張「乘法的順序」這種愚蠢的事情。我認為去精確考究這件事並沒有意義，因此我僅在此闡述我的立場。

看到那道題目時，我當下就會辨認出這是一道乘法題。既然這裡有兩個數字，只需要將這兩個數字相乘即可，因此腦袋裡想的就只有「兩個數之積」這個概念，其順序並不成問題。硬要說的話，按照題目中出現數字的順序寫成 $3 \times 5$ 或許比較自然，但即便將後面的數字寫在前面而寫成 $5 \times 3$也是可以的。這就是全部的重點所在。

再舉一個例子。如果有個長方形，其一邊長度為 $3 \text{ cm}$，而與其垂直的另一邊長度為 $5 \text{ cm}$，這個長方形的面積是多少平方公分？雖然按照數字出現的順序寫成 $3 \times 5$ 或許比較自然，但並沒有非得這麼做的理由。三角形的面積也是同樣的道理。沒有必要規定底邊長度與高哪一個要先寫。

如果有個圓柱，其底面積為 $3 \text{ cm}^2$，高為 $5 \text{ cm}$，這個圓柱的體積是多少立方公分？若是先把高拿出來，再把底面積放在後面又會如何？在這種情況下，乘數與被乘數又該如何決定？也就是說，圓柱的體積公式應該寫成「底面積 $\times$ 高」還是「高 $\times$ 底面積」呢？

寫到這裡，大概多數的讀者都會覺得這很荒謬吧，而這也正是筆者希望達到的效果。雖然可能顯得有點囉唆，但我還是再多舉一個例子。假設最開始那 $5$ 輛載重 $3$ 噸的卡車排成一列，而這樣的列共有 $6$ 列。沙子的總量共有多少噸？每一列是 $3 \times 5$ 或 $5 \times 3$。所以 $6$ 列就是 $6 \times (3 \times 5)$ 或 $(3 \times 5) \times 6 \dots$。或者是卡車共有 $5 \times 6$ 輛或 $6 \times 5$ 輛。每一台載重 $3$ 噸，所以是 $(5 \times 6) \times 3$ 或 $3 \times (5 \times 6) \dots$。那些在意順序的傢伙，大概會想將其中某一種寫法當作正確，而將其他的都視為錯誤吧。

寫到這裡，讀者理應都能體會到刻意糾結順序是多麼荒謬。儘管我認為這件事大可就此打住，但我們不妨試著將數字改用函數來思考。

考慮兩個實變函數之積 $fg$ 的導函數公式，通常將 $df/dx$ 記作 $f'$，則公式寫為：

$$(fg)' = f'g + fg'$$

在此處，寫成 $(fg)' = fg' + f'g$ 也可以，寫成 $(fg)' = g'f + gf'$ 也可以，總共有 8 種組合[譯註1]，無論哪一種都是正確的。對於三個函數之積 $(fgh)'$ 的公式也是同樣的道理。頂多只能說，在教科書等書籍中，為了方便後續的說明或應用，會採取一種較易理解的慣用寫法。

[譯註1] 此處所言8種，其實就是「$f', g, f, g'$」這4個符號的受限排列，首先「$f'$與$g$」可以進行乘法交換，再者「$f$與$g'$」也可以進行乘法交換，最後「$f'g$與$fg'$」可以進行加法交換，所以一共有$2! \times 2! \times 2! = 8$種。

在複分析中出現的 $\frac{1}{2\pi i} \int_C f(z) dz$，曾有數學家建議不要把其中的 $\frac{1}{2\pi i}$ 寫成 $(2\pi i)^{-1}$，但其實並無不可。寫成 $(2\pi i)^{-1} \int_C f(z) dz$ 沒問題，寫成 $\int_C f(z) dz / (2\pi i)$ 也可以。當然，使用過於古怪的寫法並非好事。

回到單純的數字乘法，既然結果不論順序皆相同，卻硬要學生去思考哪一邊才「正確」，這完全是強迫學生進行多餘且徒勞的思考。因此，應該立即停止這種行為。

順帶一提，聽說似乎也有人討論加法的順序。甚至在除法中，為了得出 $42 \div 6 = 7$，似乎還有人會要求學生說明是使用了 $6 \times 7 = 42$ 還是 $7 \times 6 = 42$。這真是令人吃驚。

我有一個提案。在入學考試或插班考試等場合，希望可以出一些註明「在此題目中無須在意乘法順序」的問題。

在數學教育界，有些人長期活躍於各處，並寫過相當多類似入門書的作品。有一位曾任職於某國立大學數學系的教授[譯註2]，為了往後在別處使用的目的，會將自己在課堂上的演講錄進錄音帶或類似的設備中。因此，他禁止學生在教室內提問。這是一位當時在場的學生告訴我的往事。

[譯註2] 根據文脈中對「教育界活躍」、「入門書作家」、「乘法順序理論起源」以及志村五郎一貫的批判立場來看，這段話矛頭直指遠山啓（以及由他領導的數教協思潮）的機率極高。這也反映了當時「純數學家」（如志村）與「數學教育家」（如遠山）之間對於數學本質理解的巨大鴻溝。

我認為這個人大概就是那群開始對乘法順序囉唆挑剔的主謀之一，但這一點並不明確。無論如何，他就是一個能毫不在意做出那種行為的人。或許這世上這類事情層出不窮，並不需要感到驚訝。

大眾所知曉的事情僅是冰山一角。即便是我目前正在寫的內容，也只是我所知道的事情中的一小部分。隱藏在冰山底下的多半是些糟糕的事，所以也可以說不知道反而比較好。然而，有時也不能一概而論，我會在之後的章節中寫下幾個相關的重要例子。