對數不等式一題

==問題==

設$a$為實數。當$a$為何值時，式$\log_a (a^2 + a)$為正？

==解答==

首先分析對數的底數與真數。

底數為$a$，故$a>0$且$a \ne 1$。

真數為$a^2 + a$，所以$a^2 + a>0$。對不等式$a^2 + a > 0$左右同加$\frac{1}{4}$，得$a^2 + a + \frac{1}{4} > \frac{1}{4}$，於是$\left( a + \frac{1}{2}\right)^2 > \frac{1}{4}$，化簡為$\left( a + \frac{1}{2}\right)^2 - \left( \frac{1}{2} \right)^2 > 0$，利用平方差公式得$\left( a+\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) \left( a+\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) > 0$，即$a(a+1)>0$，從而$a>0$或$a < -1$。

綜上所述，得$a>0$且$a \ne 1$。

接著分析對數不等式本身。

$\log_a (a^2 + a) > 0$即為$\log_a (a^2 + a) > \log_a 1$。此時必須按$a$的大小分情況才能確定下一步。

情形1：$0 < a < 1$

此時由$\log_a (a^2 + a) > \log_a 1$可推得$a^2 + a < 1$，於是$a^2 + a - 1 < 0$，解得$\frac{-1-\sqrt{5}}{2} < a < \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。但注意在此情況預先限定$0 < a < 1$，所以結論是$0 < a < \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。

情形2：$a > 1$

此時由$\log_a (a^2 + a) > \log_a 1$可推得$a^2 + a > 1$，於是$a^2 + a -1 > 0$，解得$a < \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$或$a > \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。但注意在此情況預先限定$a > 1$，所以結論是$a > 1$。

綜合以上情形1與情形2討論結果，可得$0 < a < \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$a > 1$。

事實上，如果考慮函數$y = \log_x (x^2 + x)$，則不等式$\log_a (a^2 + a) > 0$可看做尋找函數曲線在$x$軸上方的部分。此函數的圖形如下：